On the generalized lagrangian for general relativity and some of its implications

Summary

The most general scalar Lagrangian density leading to Einstein’s field equations contains two invariantsF,K quadratic in the components of the curvature tensor. The LagrangianL=(−g)^1/2 F is considered in this note. The vanishing of the Lagrangian derivative leads to a set of identities and to a representation of (−g)^1/2 F as the divergence of a 4-component quantity. An expression for this quantity is determined which depends on the metricg _αβ and its derivative only. The contribution ofL=(−g)^1/2 F to the canonical energy-momentum complex is calculated.

Riassunto

La densità lagrangiana scalare più generale che dà origine a due equazioni del campo di Einstein contiene due invariantiF,K quadratici nei componenti del tensore di curvatura. In questo articolo si considera il lagrangianoL=(−g)^1/2 F. L’annullamento della derivata del lagrangiano produce un gruppo di identità e una rappresentazione di (−g)^1/2 F come divergenza di una quantità a 4 componenti. Per questa quantità si trova un’espressione che dipende solamente dalla metricag _αβ e dalla sua derivata. Si calcola il contributo diL=(−g)^1/2 F al complesso canonico energia-impulso.

Резюме

Наиболее общая скалярная плотность Лагранжиана, приводящая к уравнениям поля Эйнштейна, содержит два инвариантаF,K, квадратичных по компонентам тензора кривизны. В этой работе рассматривается ЛагранжианL=(−g)^1/2 F. Обращемие в нуль производной Лагранжиана приводит к системе тождеств и к представлению (−g)^1/2 F в виде дивергенции четырех-компонентной величины. Определяется выражение для этой величины, которое зависит только от метрикиg _αβ и ее производной. Вычисляется вкладL=(−g)^1/2 F в канонический комплекс энергии-импульса.