Exchange and correlation contribution to one-body potential in metallicBe

Summary

An experimentally determined electron density in metallic Be is used to calculate the one-body potential in density functional theory. The scheme, first proposed by Hohenberg and Kohn, is based upon the summation of an infinite subset of terms in a density gradient development for the exchange and correlation energyE _xc leading to an expression in the formE _xc[ϱ]=∫drɛ_xc(r), ɛ_xc =ɛ ⁰_xc +∫dr′B(r′, ϱ(r)) · [ϱ(r + 1/2r′) − ϱ (r−1/2r′]², and a corresponding expression for the one-body potentialV _xc(r)=δɛ_xc/δϱ(r). A discussion is given of the nonlocal part arising from the summation of gradient terms. Attention is focussed on the possible analytic forms of the Fourier transform of the kernel,$\hat B(q,k_F )$, which can be expressed uniquely in terms of the static dielectric functions ε(q). It is emphasized that the singularities of$\hat B(q)$ are of particular importance, and the results are sensitive to the model which is used. As a consequence of the lack of knowledge of the analytic form of$\hat B(q)$ arguments are given in favour of a cut-off in this correction term at the Thomas-Fermi screening radius. The form of the first gradient correction in the present scheme can be compared with that in the exchange energy scheme of Hermanet al. However with the inclusion of correlation effects the coefficient of (▽ϱ)² differs substantially from Herman’s.

Riassunto

Si usa la densità elettronica determinata sperimentalmente nel berillio metallico per calcolare il potenziale ad un corpo definito nella teoria di funzionali della densità. Lo schema teorico, originalmente proposto da Hohenberg e Kohn, somma un gruppo infinito di termini nell’espansione in gradienti della densità per l’energia di scambio e correlazioneE _xc, che porta all’espressioneE _xc[ϱ]=∫drɛ_xc(r), ove ɛ_xc=ɛ ⁰_xc +∫dr′B(r′, ϱ(r)) · [ϱ(r + 1/2r′) − ϱ (r−1/2r′]², e ad una corrispondente espressione per il potenziale ad un corpo,V _xc(r)=δɛ_xc/δϱ(r). Si discutono la parte non locale derivante dalla somma dei termini nel gradiente, e le forme analitiche possibili per la trasformata di Fourier$\hat B(q,k_F )$ che può essere univocamente espressa in termini della funzione dielettrica statica ε(q). Si sottolinea che le singolarità di$\hat B(q)$ hanno particolare importanza, e che i risultati dipendono dal modello usato. In assenza di conoscenze precise sulla forma analitica di$\hat B(q)$ se ne propone un taglio alla lunghezza di schermo di Thomas-Fermi. Si confronta la forma ottenuta per la prima correzione nel gradiente con quella proposta nello schema di Hermanet al.: in conseguenza dell’inclusione di effetti di correlazione il coefficiente di (▽ϱ)² differisce notevolmente dal valore di Herman.

Резюме

Для вычисления одночастичного потенциала в теории, в которой плотность рассматривается как функционал, используется вычисленная экспериментально электронная плотность в металлическом Ве. Схема, первоначально предложенная Хохенбергом и Коном, основана на суммировании бесконечного числа членов в разложении обменной и корреляционной энергииE _xc по градиенту плотности. Основное выражение имеет вид:E _xc[ϱ]=∫drɛ_xc(r), ɛ_xc =ɛ ⁰_xc +∫dr′B(r′, ϱ(r)) · [ϱ(r + 1/2r′) − ϱ (r−1/2r′]², а соответствующее выражение для одночастичного потенциала записывается в виде:V _xc(r)=δɛ_xc/δϱ(r) Обсуждается нелокальная часть, возникающая из суммирования градиентных членов. Особое внимание обращается на возможные аналитические формы фурье-преобразования ядра$\hat B(q,k_F )$, которое может быть выражено однозначно через статические диэлектрические функции ε(q). Отмечается, что сингулярности$\hat B(q)$ особенно важны и полученные результаты зависят от используемой модели. Как следствие недостаточной информации об аналитической форме$\hat B(q)$ приводятся аргументы в пользу обрезания в поправочном члене при радиусе экранирования Томаса-ферми. Форма первой градиентной поправки в предложенной схеме может быть сравнена с поправкой в схеме Германа и др. для обменной энергии. Однако, при включении корреляционных эффектов козффициент для (▽ϱ)² существенно отличается от коэффициента Германа и др