Analytic properties and bound-state degeneracy in nonlocal potentials

Summary

In this paper we prove that for a class of nonlocal potentials the zeros of the Jost functionD _l (—k), lying in the complex upper halfk-plane, may lie only on the imaginary axis. A necessary and sufficient condition is given in order for these zeros to have multiplicitym. It is proved that the order of that multiplicity is equal to the degeneracy of the corresponding bound state. An upper bound is given for the number of zeros ofD _l (—k) in the complexk-plane; a necessary and sufficient condition for the existence of Ma poles for the functionS _l (k) is given; a sufficient condition is given for the existence of extinct bound states. At last a relation is obtained between the number of poles (with their multiplicity) both in the upper and lower complex halfk-planes.

Riassunto

In questo lavoro si dimostra che, per una classe di potenziali non locali, gli zeri della funzione di JostD _l (—k) che giacciono nel semipiano superiore del piano complessok possono trovarsi solo sull’asse immaginario. Si dà una condizione necessaria e sufficiente affinché tali zeri abbiano molteplicitàm. Si dimostra che l’ordine della molteplicità è eguale al numero di volte che il corrispondente stato legato è degenere. Si dà un maggiorante per il numero di zeri diD _l (—k) nel piano complessok; si dà una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di poli di Ma per la funzioneS _l (k) e si dà una condizione sufficiente per l’esistenza di stati legati estinti. Infine si ottiene una relazione tra il numero di poli (con la loro molteplicità) nei semipiani superiore ed inferiore del piano complessok.

Реэюме

В зтой статье мы докаэываем, что для класса нелокальных потенциалов нули функции ?остаD _l4 (—κ), лежашие в верхней полуплоскости комплексногоκ, могут лежать только на мнимой оси. Приводится необходимое и достаточное условие, чтобы иметь для таких нулей множественность т. Докаэывается, что порядок зтой множественности равняется вырождению соответствуюшего свяэанного состояния. Укаэывается верхняя граница для числа нулейD _l (—κ) в комплексной й-плоско-сти; приводится необходимое и достаточное условие для сушествования Ма полюсов для функцииS _l (κ) выписывается достаточное условие для сушествования ослабленных свяэанных состояний. Наконец, получается свяэь между числом полюсов (с их множественностью) и в верхней и в нижней полуплоскостях комплексного к.