O ^ΠC₄ analysis of possible composite lepton states generated by weak interactions

Summary

The possibility of existence of lepton-antilepton massless vector bound states due to weak interactions is investigated with the help of a spinor-spinor Bethe-Salpeter equation in the ladder approximation. A phenomenological kernel is used, reproducing at large distances thex ⁻⁶ behaviour of the long-range forces due to exchange of neutrino pairs between leptons and being logarithmically divergent at short distances. After expansion of the amplitude intoO ^ΠC₄ generalized harmonics, the equation is reduced to three systems of coupled Fredholm integral equations for the spectral functions, each system corresponding to differentO ₄ and/orΠC quantum numbers. In the zeroth-order approximation the form factor of the vertex is given for general values of the quantum numbers, and the relative effective renormalized coupling constant computed. It turns out that the only physically acceptable solutions correspond to bound states of spin 1,ΠC=+1. They may belong either to the representation (1/2, 1/2) ofO ₄ or to (1, 0)⊕(0, 1); in the former case the effective renormalized coupling constant turns out to be a pure number (2π√3), while in the second case its value depends on the masses of the constituent leptons and, for the electron, is about 0.70.

Riassunto

Si studia la possibile csistenza di stati legati vettoriali a massa nulla leptoneantileptone, dovuti alle interazioni deboli, tramite un’equazione di Bethe-Salpeter spinore-spinore in approssimazione a scala. Si usa un nucleo fenomenologico, riproducente alle grandi distanze l’andamento delle forze a lungo raggio dovute allo scambio di coppie di neutrini fra i leptoni, e divergente logariticamente alle piccole distanze. Dopo aver sviluppato l’ampiezza in armoniche generalizzate di ridotta a tre sistemi di equazioni integrali accoppiate di Fredholm per le funzioni spettrali, corrispondendo ciascun sistema a numeri quantici differenti diO ₄ e/oΠC. Si dà il fattore di forma del vertice in approssimazione d’ordine zero per valori generici dei numeri quantici e si calcola la relativa costante di accoppiamento rinormalizzata effettiva. Risulta che le uniche soluzioni fisicamente accettabili corrispondono a stati legati con spin 1,ΠC=+1. Esse possono appartenere alla rappresentazione (1/2, 1/2) diO ₄ oppure a quella (1, 0)⊕(0,1); nel primo caso risulta che la costante di accoppiamento rinormalizzata effettiva è un numero puro (2π√3), mentre nel secondo caso il suo valore dipende dalle masse dei leptoni costituenti e, per l’elettrone, è circa 0.70.

Реэюме

С помошью спинор-спинорного уравнения Бете-Салпетера в лестничном приближении исследуется воэможность сушествования беэмассовых лептон-антилептонных векторных свяэанных состояний, обраэованных в реэультате слабых вэаимодействий. Испольэуется феноменологическое ядро, которое воспроиэводит на больщих расстоянияхx ⁻⁶ поведение для длиннодействуюших сил, обусловленных обменом пар нейтрино между лептонами, и является логарифмически расходяшимся на малых расстояниях. После раэложения амплитуды поO ^ΠC₄ обобшенным гармоникам рассматриваемое уравнение сводится к трем системам свяэанных интегральных уравнений Фредгольма для спектральных функций, причем, каждая система соответствует раэличнымO ₄ или раэличным ПО квантовым числам или раэличнымO ₄ и раэличным ПО квантовым числам одновременно. В нулевом приближении приводится форм-фактор верщины для основных эначений квантовых чисел и вычисляется относительная зффективная перенормированная константа свяэи. Окаэывается, что только фиэически приемлемые рещения соответствуют свяэанным состояниям для спина 1,ПC=+1. Они могут принадлежать либо представлению (1/2, 1/2)O ₄ или (1, 0)⊕(0, 1). В первом случае зффективная перенормированная константа свяэи равна просто числи (2π√3), тогда как во втором случае эначение зффективной перенормированной константы свяэи эависит от масс составляюших лептонов и для злектрона зта величина составляет около 0.70.