Spinor solutions to the Schwarzschild metric

Summary

The class of solutions represented by Hermitian two-by-two matrices associated to time-independent metrics which correspond to a symmetry Euclidian Killing vector is derived. The elements of this class are related by means of point-dependent unitary unimodular two-by-two matrices. It is shown that these spinor fields associated to the Schwarzschild metric are solutions of the gravitational spinor equations proposed by Sachs. The properties of covariance of the formalism under the transformations of the groupSU ₂ are analysed.

Riassunto

Si deduce la classe di soluzioni rappresentante da matrici hermitiane 2×2 associate a matrici dipendenti dal tempo che corrispondono ad un vettore di Killing euclidiano di simmetria. Si mettono in relazione gli elementi di questa classe per mezzo di matrici 2×2 unimodulari unitarie dipendenti dal punto. Si mostra che questi campi spinoriali associati alla metrica di Schwarschild sono soluzioni delle equazioni spinoriali gravitazionali proposte da Sachs. Si esaminano le proprietà di covarianza del formalismo rispetto alle trasformazioni del gruppoSU ₂.

Резюме

Выводится класс реше ний, представляющих эрмитовы матрицы два на два, которые связан ы с не зависящей от вре мени метрикой, котора я соответству зависящей от времени метрикой, которая соо тветствует симметри чному эвклидову вект ору Киллинга. Элемент ы этого класса связан ы с помощью зависящих от точ симметричному эвкли дову вектору Киллинг а. Элементы этого клас са связаны с помощью з ависящих от точки уни тарных единичных мат риц два на два. Показыв ается, что эти сшгнорн ые поля, связанные с ме трикой Шварцш этого класса связаны с помощью зависящих о т точки унитарных еди ничных матриц два на д ва. Показывается, что э ти сшгнорные поля, свя занные с метрикой Шва рцшильда, представля ют решения гравитаци онных спинорных урав нений, предложенных С аксом. Анализируются с унитарных единичных матриц два на два. Пока зывается, что эти сшгн орные поля, связанные с метрикой Шварцшиль да, представляют реше ния гравитационных с пинорных уравнений, п редложенных Саксом. А нализируются свойст ва ковариантности ра ссматриваемого форм ализма относительно преобразований груп пы SU₂. что эти сшгнорные пол я, связанные с метрико й Шварцшильда, предст авляют решения грави тационных спинорных уравнений, предложен ных Саксом. Анализиру ются свойства ковари антности рассматрив аемого формализма от носительно преобраз ований группы SU₂. Шварцшильда, предста вляют решения гравит ационных спинорных у равнений, предложенн ых Саксом. Анализирую тся свойства ковариа нтности рассматрива емого формализма отн осительно преобразо ваний группы SU₂. спинорных уравнений, предложенных Саксом. Анализируются свойс тва ковариантности р ассматриваемого фор мализма относительн о преобразований гру ппы SU₂. Анализируются свойс тва ковариантности р ассматриваемого фор мализма относительн о преобразований гру ппы SU₂. рассматриваемого фо рмализма относитель но преобразований гр уппы SU₂. преобразований груп пы SU₂.