Gauge-invariant spinor theories

Summary

It is demonstrated that in spinor theories with nonlinear quadratic self-interaction, gauge symmetries connected withx-dependent internal symmetry transformations can be established without the introduction of additional vector fields if the spinor field operator has the noncanonical length dimension −1/2. In this case the theory is scale invariant at small distances and hence formally renormalizable. Operator products can be defined according to prescriptions given by Zimmermann and Wilson. The usual role of the gauge fields in these spinor theories is taken over by the formally constructed vector and axial vector «currents» of the noncanonical spinor fields which have the correct length dimension of boson operators. Physical fermion fields are related to deverivatives of these spinor fields or to 3-products of these fields. The noncanonical spinor field hence may be regarded as a «spinor potential» in the sense that its relation to a physical spinor field is similar to the relation of the vector potential to the physical electromagnetic field. The unobservable «spinor potential» acts in a state space with indefinite metric. Examples forSU _n ⊗SU _n gauge-invariant theories are given. The Heisenberg nonlinear spinor theory is shown to beSU ₂ gauge-invariant, and hence the parity symmetry version of Dürr to beSU ₂⊗SU ₂ gauge-invariant. This formal invariance, however, does not necessarily imply that the summetry holds in Hilbert space.

Riassunto

Si dimostra che, nelle teorie spinoriali con autointerazioni quadratiche non lineari, si possono stabilire delle simmetric di gauge connesse con trasformazioni di simmetrie interne dipendenti dax, senza introdurre ulteriori campi vettoriali se l’operatore di campo spinoriale dà la dimensione lineare non canonica di −1/2. In questo caso la teoria è invariante a piccole distanze rispetto alla scala e quindi formalmente rinormalizzabile. Si possono definire i prodotti di operatori secondo le indicazioni di Zimmermann e Wilson. In queste teorie spinoriali il ruolo consueto dei campi di gauge viene svolto dai vettori costruiti formalmente e dalle «correnti» vettoriali assiali dei campi vettoriali non canonici che hanno la corretta dimensione lineare degli operatori bosonici. I campi dei fermioni fisici sono collegati alle derivate di questi campi spinoriali o ai 3-prodotti di questi campi. Si può considerare quindi il campo spinoriale non canonico come un «potenziale spinoriale» nel senso che la sua relazione con il campo spinoriale fisico è simile alla relazione del potenziale vettore col campo elettromagnetico fisico. Il «potenziale spinoriale» non osservabile agisce in uno spazio degli stati con metrica indefinita. Si forniscono degli esempi per teorie invarianti di gauge perSU _n ⊗SU _n . Si dimostra che la teoria spinoriale non lineare di Heisenberg è invariante di gauge perSU ₂, e che, quindi, la versione della simmetria di parità di Dürr è invariante di gauge perSU ₂⊗SU ₂. D’altra parte questa invarianza formale non implica necessariamente che la simmetria sia valida nello spazio di Hilbert.

Резюме

Показывается, что в спинорных теориях с нелинейным собственным взаимодействием четвертого порядка калибровочные симметрии, связанные с зависящими от «x» преобразованиями внутренней симметрии, могут быть установлены без введения дополнительных векторных полей, если оператор спинорного поля имеет каноническую размерность длины −1/2. В этом случае теория является масштабно инвариантной на малых расстояниях и, следовательно, формально перенормируемой. Произведения оператогов могут быть определены согласно рецептам, данным Циммерманом и Вильсоном. Обычную роль калибровочных полей в этих спинорных теориях принимают формально сконструированные векторный и аксиально векторный «токи» неканонических спинорных полей, в которых бозонные операторы имеют правильную размерность длины. Физические фермионные поля связаны с производными этих спинорных полей или с тройными произведениями этих полей. Следовательно, неканоническое спинорное поле может рассматриваться как «спинорный потенциал» в том смысле, что его связь с физическим спинорным полем является аналогичной связи векторного потенциала с физическим электромагнитным полем. Ненаблюдаемый «спинорный потенциал» действует в пространстве состояний с индефинитной метрикой. Приводятся примеры дляSU _n ⊗SU _n калибровочно инвариантных теорий. Показывается, что нелинейная спинорная теория Гайзенберга являетсяSU ₂ калибровочно инвариантной и, следовательно, вариант симметрии четности Дюрра являетсяSU ₂⊗SU ₂ калибровочно инвариантным. Эта формальная инвариантность, однако, обязательно не означает, что эта симметрия имеет место только в гильбертовом пространстве.