Hooke’s symmetries and nonrelativistic cosmological kinematics. — I

Summary

The structure of the Hooke groups and of their central extensions is studied and compared with that of the Galilei group. The local exponents of the Hooke groups are obtained by integration of the Lie algebra. The invariants of the extended Hooke groups are deduced from the de Sitter’s symmetries. The kinematical observables are identified with elements of their envelopping algebras and the constants of motion are given. Knowing that the main difference between the Hooke and Galilei kinematics can be accounted for by a harmonic potential, we propose some indications for a Hooke cosmological model.

Riassunto

Si studia la struttura dei gruppi di Hooke e delle loro estensioni centrali e la si confronta con quella del gruppo di Galilei. Si ottengono gli esponenti locali dei gruppi di Hooke per integrazione dell’algebra di Lie. Si deducono gli invarianti dei gruppi estesi di Hooke dalle simmetrie di de Sitter. Si identificano gli osservabili cinematici con gli elementi delle loro algebre inviluppanti e si dànno le costanti del moto. Sapendo che si può rendere conto della differenza principale fra le cinematiche di Hooke e di Galilei con un potenziale armonico, si propongono alcune indicazioni per un modello cosmologico di Hooke.

Резюме

Исследуется структу ра групп Хука и их центральных расшире ний. Проводится сравнени е со структурой групп ы Галилея. Посредством интегри рования алгебры Ли получаютс я локальные эксПонен ты для групп Хука. Из симметрий де С иттера выводятся обо бщенные группы Хука. К инематические наблю даемые величины иде группы Хука. Кинемати ческие наблюдаемые в еличины идентифицир уются с элементами их огибаюШх алгебр. Прив одятся интегралы идентифицируются с э лементами их огибаюШ х алгебр. Приводятся и нтегралы Приводятся интеграл ы движения. Зная, что гла вное различие между к инематикой Хука и Галилея может быть объяснено с помощью гармоничес кого потенциала, мы предла гаем некоторые указания д ля космологической м одели Хука.