Equal-time limits of anticommutators in relativistic theories

Summary

The structure of anticommutators between interacting fermion fields in the equal-time limit (e.t.l.) is investigated in relativistic models in two-dimensional space-time, mainly as regardsq-number Schwinger terms, following similar investigations by other authors in perturbation theory and in nonrelativistic models. Essentially, it is found that, typically, there exists a critical coupling constant below which the e.t.l. of the anticommutator minus thec-number vacuum expectation value (v.e.v.) contribution is zero, and above which it is not well defined as an operator-valued distribution. For the critical value of the coupling constant, the coefficient of theq-number term is proportional to a delta-function in the e.t.l. Two types of definitions of e.t.l. are briefly compared.

Riassunto

Si studia la struttura degli anticommutatori fra campi interagenti di fermioni, nel limite equitemporale, in modelli relativistici nello spazio-tempo bidimensionale, principalmente per quanto riguarda i termini di Schwinger dei numeriq, seguendo gli studi simili condotti da altri autori in teoria delle perturbazioni e sui modelli non relativistici. Sostanzialmente si trova che, tipicamente, esiste una costante di accoppiamento critica al di sotto della quale il limite equitemporale dell’anticommutatore meno il contributo del valore previsto per il vuoto del numeroc (v.e.v.) è nullo. Al di sopra della costante il limite non è ben definito come una distribuzione valutata operatorialmente. Per il valore critico della costante di accoppiamento il coefficiente del termine del numeroq è proporzionale alla funzione delta nel limite di equl time. Si confrontano brevemente due tipi di definizioni del suddetto limite.

Реэюме

Следуя обычным рассмотрениям других авторов в теории воэмушений и в нерелятивистских моделях, исследуется структура антикоммутаторов между вэаимодействуюшими фермионными полями в равновременном пределе, испольэуя релятивистские модели в двумерном пространстве-времени, в основном, в отнощении щвингеровских членов, представляюшихq-числа. По сушеству, получается, что, как правило, сушествует критическая константа свяэи, ниже которой равновре-менной предел антикоммутатора минус вклад вакуумной ожидаемой величины, представляюшийc-число, есть нуль, а выще которой не сушествует точно определенного распределения операторной величины. Для критической величины константы свяэи козффициент при члене, представляюшемq-число, пропорционален дельта-функции в равновременном пределе. Вкратце сравниваются два типа определений равновременного предела.