Complex helicity and the Sommerfeld-Watson transformation of group-theoretic expansions

Summary

The connection of group-theoretic expansions (in both continuous and discrete bases) of a function defined onSO ₃ andSO _2,1 and analytic on their complexification (except for certain singularities), is discussed. This is achieved by making various transformations of the Sommerfeld-Watson type. The analyticity assumptions needed for these transformations are considered and found to depend on the basis chosen for the representation functions. The applications of this work to multi-Reggeon expansions and, in particular, to the behaviour of Reggeon vertex functions are discussed. The connections between the various Sommerfeld-Watson and group-theoretic signatures are also given. As a preliminary, transforms are used to relate the Fourier series to the Fourier integral.

Riassunto

Si discute la connessione degli sviluppi secondo la teoria dei gruppi (sia con basi continue che discrete) di una funzione definita suSO ₃ edSO _2,1 ed analitica sulle loro complessificazioni (tranne che per alcune singolarità). Si raggiunge lo scopo facendo varie trasformazioni del tipo di Sommerfeld-Watson. Si considerano le ipotesi di analiticità necessarie per queste trasformazioni e si trova che esse dipendono dalla base scelta per le funzioni di rappresentazione. Si discutono le applicazioni di quanto trovato allo sviluppo multiplo di Regge ed in particolare alle funzioni di vertice del reggeone. Si forniscono anche le connessioni fra i differenti segni di teoria dei gruppi e di Sommerfeld-Watson. In via preliminare, si usano le trasformate per mettere in relazione la serie di Fourier con l’integrale di Fourier.

Реэюме

Обсуждается свяэь раэложений теории групп (в обоих случаях, непрерывного и дискретного баэисов) для функции, определенной наSO ₃ иSO _2,1 и ана-литичной на их комплексообраэован ии (эа исключением определенных сингуляр-ностей). Это достигается посредством раэличных преобраэований типа Зоммерфельда-Ватсона. Рассматриваются предположения аналитичности, необходимые для зтих преобраэований, и найдено, что они эависят от баэисов, выбранных для функций представлений. Обсуждаются применения зтой работы к много-реджеонным раэложениям и, в частности, к поведению реджеонных верщинных функций. Также приводятся соотнощения между раэличными сигнатурами Зоммерфельда-Ватсона и теории групп. Предварительно преобраэованные выражения испольэуются, чтобы свяэать ряд Фурье с интегралом Фурье.