On the application of glaser’s results to study analyticity properties of physical amplitudes

Summary

In this work we consider the solution thatV. Glaser has recently given to some problems of analytic completion and we investigate the application to the retarded and advanced functions of local quantum field-theory. Presently this application provides the most general method that has been investigated to study analyticity properties of these functions (at least in the case of products of more than two operators). We concentrate here our attention on the question whether in this way analyticity properties on the mass shell may be obtained for physical amplitudes. This program leads to study some simple properties of Glaser’s results and also to survey the already known cases where analyticity properties on the mass shell have been proved. It appears that in these known proofs, besides the assumption of the existence of the vacuum expectation values of the retarded products, some further assumptions or arguments concerning the behaviour at the boundary of the analyticity region are needed. This investigation leads to conclude that this same difficulty to reach the mass shell is present in the new method, except in the case of the vertex function; the only new interesting case in which the boundary of the analyticity region may reach the mass shell is the vacuum expectation value of the product of four operators representing the π-π scattering amplitude. No progress may be obtained for production processes.

Riassunto

Nel presente lavoro viene presa in considerazione la soluzione cheV. Glaser ha recentemente dato a taluni problemi di prolungamento del dominio di regolarità di funzioni analitiche di più variabili complesse e ne viene indagata l’applicazione alle funzioni ritardate e anticipate della teoria assiomatica dei campi locali. Attualmente questa applicazione costituisce il metodo più generale tra quelli utilizzati per studiare le proprietà di analiticità di tali funzioni (per lo meno nel caso di prodotti di più di due operatori). Qui fissiamo l’attenzione sul problema della possibilità di ottenere per tale via proprietà di analiticità sul « mass-shell » per ampiezze di processi fisici. Questo programma ci conduce a studiare alcune semplici caratteristiche dei risultati diGlaser ed anche a riesaminare i casi già noti nei quali proprietà di analiticità sul « mass-shell » sono state dimostrate. Emerge il fatto che in queste note dimostrazioni, accanto all’ipotesi dell’esistenza dei valori medi nel vuoto dei prodotti ritardati, sono richieste ulteriori ipotesi e argomentazioni riguardanti il loro comportamento sul confine dei rispettivi domini di analiticità. La presente indagine conduce a concludere che la stessa difficoltà di raggiungere il « mass-shell » si presenta col nuovo metodo, eccettuato il caso della funzione di vertice; vi è tuttavia un nuovo caso interessante in cui il confine del dominio di analiticità può raggiungere il « mass-shell » pur essendo tutti i vettori complessi: il valor medio nel vuoto del prodotto di quattro operatori che rappresenta l’ampiezza di diffusione pione-pione. Non si può invece ottenere alcun progresso nel caso dei processi di produzione.