On the calculation of radial wave functions corresponding to energies in the continuum part of the helium spectrum

Summary

For the purpose of recalculating the helium primary specific ionization values in an attempt to bridge the gap existing between theory and experiment in this field, this paper deals with the derivation of new wave functions corresponding to energies from the continuum part of the He spectrum, which are more accurate than those resulting from the commonly adopted approximations. Sect.1 is devoted to an appropriate series expansion of the wave function for the two helium planetary electrons and to the corresponding transformation of the Schrödinger equation into an infinite system of simultaneous differential equations which the expansion entails. Further, it is shown how a suitable truncation leads to the basic, one-electron, Schrödinger-type differential equation for the approximate wave function describing the positive energy electron in the electric field of the helium nucleus and the bound electron. The physical reasons underlying the truncation procedure are discussed in detail. In Sect.2, it is shown that the correction due to the motion of the nucleus vanishes identically to within the present lowest-order approximation scheme. Sect.3 deals with the radial part of the desired wave function, its reduction to atomic units, the ordinary second order differential equation which it satisfies, its Maclaurin series expansion and its general characteristics, especially its asymptotic behavior. Sect.4 describes the numerical integration of the mentioned radial wave equation for 27 pairs of energy and orbital angular momentum quantum number values, using an IBM 650 ordinator. All wave functions have been obtained in an interval of at least 8 atomic units. Finally, the normalization of the resulting curves to unit amplitude at infinity is examined in Sect.5. Two very elegant methods are developed and studied in detail. In the first procedure, the amplitude at infinity and the phase angle are rigorously given by certain integrals which are directly calculable. In the second and actually adopted method, the basic idea consists in introducing the Madelung transformation, leading to a non-linear differential equation for the local amplitude of the radial wave function. Calculating an asymptotic series expansion for this local amplitude, it becomes possible, in principle, to compute the normalized wave function starting at infinity down to a certain minimum abscissa dictated by the desired limit of precision. The corresponding curve to be normalized could then be fitted to the normalized one. However, it is shown that the entire procedure is enormously simplified by carrying out the matching operation at a zero of the oscillating radial wave function.

Riassunto

Allo scopo di ricordare i valori della ionizzazione specifica dell’elio nel tentativo di superare la distanza esistente in questo campo fra teoria ed esperimenti, questo lavoro tratta la derivazione di nuove funzioni d’onda corrispondenti ad energie della parte continua dello spettro dell’elio, che siano più precise di quelle risultanti dalle approssimazioni solitamente adottate. La Sezione1 è dedicata ad un appropriato sviluppo in serie della funzione d’onda per i due elettroni planetari dell’elio ed alla corrispondente trasformazione dell’equazione di Schrödinger in un sistema infinito di equazioni differenziali simultanee, rese necessarie dallo sviluppo in serie. Poi si mostra come un taglio opportuno porti alla fondamentale equazione differenziale, per un elettrone, del tipo di Schrödinger, per la funzione d’onda approssimata che descrive l’elettrone di energia positiva nel campo elettrico del nucleo di elio e l’elettrone legato. Si discutono in dettaglio le ragioni fisiche che sono alla base del procedimento di taglio. Nella Sezione2 si mostra che la correzione dovuta al moto del nucleo si annulla identicamente entro il presente schema di approssimazione di minimo ordine. Nella Sezione3 viene trattata la parte radiale delle funzioni d’onda desiderata, la sua riduzione in unità atomiche, l’equazione differenziale ordinaria di secondo ordine che essa soddisfa, il suo sviluppo in serie di McLaurin e le sue caratteristiche, specialmente il suo comportamento asintotico. Nella Sezione4 si descrive l’integrazione numerica della detta equazione radiale d’onda per 27 coppie di valori dell’energia e del numero quantico del momento angolare orbitale, usando un ordinatore IBM 650. Tutte le funzioni d’onda si sono ottenute entro un intervallo di almeno 8 unità atomiche. Infine, nella Sezione5 si esamina la rinormalizzazione delle curve risultanti dall’ampiezza unitaria all’infinito. Si sviluppano e si studiano dettagliatamente due metodi molto eleganti. Col primo procedimento, l’ampiezza all’infinito e l’angolo di fase sono dati in modo rigoroso da alcuni integrali che sono direttamente calcolabili. Nel secondo metodo, effettivamente adottato, l’idea fondamentale consiste nell’introdurre la trasformazione di Madelung che porta ad una equazione differenziale non lineare per l’ampiezza locale della funzione d’onda radiale. Calcolando uno sviluppo in serie asintotico di questa ampiezza locale diviene possibile, in linea di principio, di calcolare la funzione d’onda normalizzata partendo dall’infinito giù sino ad una certa ascissa minima indicata dal limite di precisione desiderato. Poi la curva corrispondente da normalizzare può essere accordata con quella rinormalizzata. Si mostra tuttavia come l’intera procedura sia enormemente semplificata eseguendo le operazioni di raccordo ad uno zero della funzione d’onda radiale oscillatoria.