Heisenberg representation in classical general relativity

Summary

The energy of the gravitational field (as of any other system) is not always the numerical value of the Hamiltonian (for example, not in a Hamilton-Jacobi formulation). We define a classical « Heisenberg representation » which excludes Hamilton-Jacobi-like canonical transformations. Ordinarily, within the Heisenberg representation, there remains only the possibility of time-independent canonical transformation among the dynamical variables. However, the freedom of co-ordinate transformations in general relativity allows many extra « canonical » transformations not found in conventional Lorentz covariant theory. This wider class of canonical formalisms possess all the properties usually associated with the Heisenberg picture in that in each formalism the measurable quantities,g_μv(t), are obtained from knowledge of the canonical variables at the same time without any explicit co-ordinate dependence. Further, the Hamiltonian is a constant of motion. Only in Heisenberg frames is the Hamiltonian to be associated with the energy of the system. In spite of the additional freedom of canonical transformations (due to the freedom of co-ordinate change mentioned above), it is shown that the Hamiltonian is numerically the same for a fixed state of the gravitational field in any Heisenberg representation. The energy is then a uniquely definable quantity in the theory. In the process, it is established that two Heisenberg frames can differ by co-ordinate transformations that depend only on the canonical variables and not explicitly on the co-ordinates. These transformations must also preserve the property that at spatial infinity the metric become Lorentz so that the physical boundary conditions be unaltered.

Riassunto

L’energia del campo gravitazionale (come di ogni altro sistema) non è sempre data dal valore numerico dell’hamiltoniano (per esempio, non lo è nella formulazione di Hamilton-Jacobi). Noi definiamo una classica « rappresentazione di Heisenberg » che esclude trasformazioni canoniche del tipo di quelle di Hamilton-Jacobi. Ordinariamente, entro la rappresentazione di Heisenberg, fra le variabili dinamiche rimane solo la possibilità di trasformazioni canoniche indipendenti dal tempo. Comunque, la libertà delle trasformazioni di coordinate nella relatività generale permette molte trasformazioni extracanoniche che non si trovano nella teoria covariante di Lorentz convenzionale. Questa più ampia classe di formalismi canonici possiede tutte le proprietà solitamente associate alla rappresentazione di Heisenberg in quanto in ogni formalismo le quantità misurabilig_μv(t) sono ottenute dalla conoscenza delle variabili canoniche nello stesso tempo senza alcuna esplicita dipendenza dalle coordinate. Inoltre l’Hamiltoniano è una costante del moto. Solo negli schemi di Heisenberg l’Hamiltoniano deve essere associato all’energia del sistema. Malgrado la libertà addizionale delle trasformazioni canoniche (dovuta alla suddetta libertà nel cambiamento delle coordinate), si dimostra che per un determinato stato del campo gravitazionale l’Hamiltoniano è numericamente uguale in qualsiasi rappresentazione di Heisenberg. L’energia è quindi una quantità univocamente definibile nella teoria. Nel processo si stabilisce che due schemi di Heisenberg possono differire per trasformazioni di coordinate che dipendono solo dalle variabili canoniche e non dipendono esplicitamente dalle coordinate. Queste trasformazioni debbono anche conservare la proprietà che all’infinito, nello spazio, la metrica diviene Lorentziana in modo che rimangano inalterate le condizioni fisiche ai limiti.