On Cauchy’s problem in general relativity

Summary

It is shown that a suitable set of Cauchy’s conditions for Einstein’s equations in vacuo consists in specifying the values ofg _kl andg _kl,0 on a hypersurfacex ⁰ = 0. The correspondingg _0k are to be found by solving threespatial second order differential equations, andg ₀₀ is then given by analgebraic relation. The first and higher time derivatives ofg _0μ remain completely undetermined by the field equations, thus leaving room for arbitrary coordinate transformations. It is further shown that even if theg _kl are chosen close to their Galilean values, and if theg _kl,0 are small, the remainingg _0ν will in general not be close to their Galilean values. However, a detailed investigation of the physical components of the curvature tensor shows that the field can nevertheless be weak, thus implying that the large discrepancies between theg _0μ and their Galilean values are only a coordinate effect. The field is really strong only close to domains where the determinant of theg _0ν vanishes. By a suitable coordinate transformation, those domains can be made to shrink to points, and the resulting singularities may be interpreted as representing matter. This supports Einstein’s view that matter should not be considered as something foreign to the metric field itself.

Riassunto

Si dimostra che una serie adeguata di condizioni di Cauchy per le equazioni di Einstein per lo spazio vuoto consiste nello specificare i valori dig _kl eg _kl,0 su un’ipersuperficiex ⁰ = 0. Ig _0k corrispondenti si debbono trovare risolvendo tre equazioni differenzialispaziali del second’ordine, eg ₀₀ è dato allora da una relazione algebrica. Le derivate rispetto al tempo, prima e superiori, dig _0μ restano completamente indeterminate dalle equazioni del campo, permettendo così arbitrarie trasformazioni di coordinate. Si dimostra inoltre che anche se leg _kl si scelgono prossime ai loro valori galileani e leg _kl,0 sono piccole, le restantig _0ν non saranno, in generale, prossime ai loro valori galileani. Tuttavia, un esame dettagliato dei componenti fisici del tensore di curvatura mostra che il campo può non pertanto esser debole, il che fa pensare che le forti discrepanze tra leg _0ν e i loro valori galileani sono dovute solo alle coordinate adottate. Il campo è realmente forte solo in prossimità dei domini in cui si annulla il determinante delleg _0μ. Con un’opportuna trasformazione delle coordinate, tali domini possono esser ridotti a punti, e le singolarità che ne risultano si possono interpretare come rappresentazioni di materia. Ciò corrobora l’opinione di Einstein che la materia non debba considerarsi come estranea al campo metrico stesso.