Reflection patterns of a seismic pulse within a solid, perfectly elastic, homogeneous spherical earth

Summary

The analytical determination of the reflection patterns of a wave produced by a disturbance in a solid, homogeneous, perfectly elastic, spherical Earth is given. The Clemmow transform allows us to obtain the azimuthal displacement, directly from the equations of motion, as a sum of a series of Legendre functions of the second kind and Hankel functions. From the integral representations of these functions the displacement is then expressed as a sum of integrals evaluated by means of the steepest-descent method. The vanishing of the phase of the involved exponentials at the saddle point gives the relations characterizing the reflection patterns. These conditions of geometrical reflection arise much more naturally in the present setting than in the previous expositions of this problem which is of fundamental importance in seismology.

Riassunto

Scopo di questo lavoro è la determinazione analitica delle riflessioni dell’onda prodotta da un impulso sulla superficie della Terra, assunta solida, omogenea, perfettamente elastica e sferica. La trasformata di Clemmow consente di ottenere, direttamente dalle equazioni del moto, lo spostamento azimutale come somma di una serie di funzioni di Legendre di secondo tipo e di funzioni di Hankel. Dalle rappresentazioni integrali di queste funzioni si ottiene lo spostamento come somma di integrali, valutati col metodo della steepest descent. L’annullamento nel punto a sella della fase delle funzioni esponenziali coinvolte dà le relazioni che caratterizzano le figure di riflessione. Queste condizioni di riflessione geometrica sorgono in maniera molto più naturale dalla presente trattazione che dalle precedenti esposizioni di questo problema che è di natura fondamentale in sismologia.

Резюме

Проводится аналитическое определение характеристик отражения волны, образованной возмущением в твердой, однороднои, идеально упругой, сферическои Земле. Преобразование Клеммова позволяет получить азимутальное смещение непосредственно из уравнений движения в виде суммы ряда функций Лежандра второго рода и функций Ганкеля. Затем это смещение выражается с помощьу интеграляных представлений этих функций в виде интегралов, вычисляемых посредством метода быстрейшего спуска. Исчезновение фазы в рассматриваемых экспонентах в седловых точках приводит к соотношениям, определяющим характеристики отражения. Полученные условия геометрического отражения в данном подходе возникают более естественным образом, чем в предыдущих рассмотрениях этой проблемы, которая является фундаменталяной в сейсмологии.