Explicit formula from field theory for the average intrinsic size of a real or virtual photon

Summary

In terms of certain spectral moments which involve the total e⁺e⁻ annihilation cross-sectionσ _e+e⁻(s), an explicit formula is derived for the intrinsic mean square radius 〈x ²〉 ² _Q of a real or virtual photon (Q ² is the spacelike photon mass squared). The radius measures an average spatial extension which is induced by the photon’s virtual hadronic couplings. Ifσ _e+_e−(s)/σ(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) ∼cs ^η ass→∞, where −1/2<η<1/2 (andc is a constant), then 〈x ²〉 ² _Q ∼Ψ(η)/Q ² whenQ ² → ∞, where the constant coefficientΨ(η) ≡ (1/2−η)/(1/2+η). For example, in the case of «pointlike» behaviour ofσ _e+_e−(s) for whichη≡0,Ψ(0)≡1 and 〈x ²〉 ² _Q ∼ 1/Q ² asQ ²→∞. A similar formula for the on-mass-shell pion (in any isospin state) yields an upper bound$\left\langle {x^2 } \right\rangle _\pi ^{\tfrac{1}{2}}< \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 3 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 3 }}} \right)\left( {{\hbar \mathord{\left/ {\vphantom {\hbar {m_\pi c}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m_\pi c}}} \right) \simeq 0.82$ fm. Phenomenological applications are made of 〈x ²〉 ² _Q to diffraction slopes and cross-sections in virtual Compton scattering and in the virtual photoproduction process of a vector system (in particular, γ(Q ²)p → ρ⁰p).

Riassunto

Si desume una formula esplicita per il raggio medio quadratico del intrinseco di un fotone reale o virtuale, 〈x ²〉 ² _Q (Q ² è il quadrato della massa spaziale di un fotone), in termini di alcuni momenti spettrali che coinvolgono la sezione d’urto totale σ_e+_e−(s) del processo d’annichilazione e⁺e⁻. Il raggio misura una estensione spaziale media che è indotta dagli accoppiamenti virtuali adronici del fotone. Se σ_e+_e−(s)/σ(e⁺e⁻→μ⁺μ⁻)∼cs ^η quandos→∞, dove −1/2<η<1/2 (ec è costante), allora 〈x〉 ² _Q ∼ Ψ(η)/Q ² quandoQ ²→∞, dove il coefficiente costante è Ψ(η)≡(1/2−η)/(1/2+η). Per esempio, nel caso di andamento « puntiforme » di σ_e+_e−(s), per cui η≡0, Ψ(0)≡1 e 〈x ²〉 ² _Q ∼1/Q ² quandoQ ²→∞. Una formula simile per il pione sullo strato delle masse (in qualsiasi stato di isospin) fornisce un limite superiore$\left\langle {x^2 } \right\rangle _\pi ^{\tfrac{1}{2}}< \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 3 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 3 }}} \right)\left( {{\hbar \mathord{\left/ {\vphantom {\hbar {m_\pi c}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m_\pi c}}} \right) \simeq 0.82$ fm. Si sono fatte applicazioni fenomenologiche del raggio 〈x ²〉 ² _Q alle pendenze di diffrazione e alle sezioni d’urto nello scattering di Compton virtuale e nei processi virtuali di foto produzione di un sistema vettoriale (in particolare γ(Q ²)p → ρ⁰p).

Реэюме

В терминах некоторых спектральных моментов, которые включают полное поперечное сечение e⁺e⁻ аннигиляцииσ _e+_e−(s). выводится явная формула для характерного среднеквадратичного радиуса 〈x ²〉 ² _Q для реального или виртуального фотона (Q ² представляет пространственно-по добный квадрат массы фотона). Этот радиус характериэует протяженность области пространства, которая определяется адрнными свяэями виртуальных фотонов. Например, еслиσ _e+_e−(s)/σ(e⁺e⁻→μ⁺μ⁻)∼cs ^η, когдаs→∞, гдеc представляет константу, тогда 〈x ²〉 ² _Q ∼1/Q ², когдаQ ²→∞. Аналогичная формула для пиона на массовой поверхности (в любом иэотопическом состоянии) приводит к верхней границе$\left\langle {x^2 } \right\rangle _\pi ^{\tfrac{1}{2}}< \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt 3 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sqrt 3 }}} \right)\left( {{\hbar \mathord{\left/ {\vphantom {\hbar {m_\pi c}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {m_\pi c}}} \right) \simeq 0.82$ fm. Рассма-триваются феноменологические применения 〈x ²〉 ² _Q для дифракционных наклонов и поперечных сечений в случае виртуального комптоновского рассеяния и в случае процесса виртуального фоторождения векторной системы (в частности, γ(Q ²)_p→ρ⁰p).