Generally covariant geometro-stochastic quantum gravity

Summary

A geometro-stochastic formulation of quantum gravity is presented which is covariant with respect to Poincaré gauge transformations as well as to internal gauges related to local coordinate changes in the base manifold of quantum-gravitational fibre bundles. In this formulation the graviton is a massless geometro-stochastic exciton of spin 2 displaying a stringlike mean stochastic extension of the order of the Planck length. A quantum pregeometry is obtained by constructing from the states of such gravitons Fock-type fibres over the general linear frame bundleGL(M) of a base differential manifoldM. These fibres are then soldered toM by means of soldering forms supplied by various pseudo-Riemannian/Lorentzian geometries in suitable regions of that manifold. Graviton propagation is governed by a second-quantized connection∇ invariant under external as well as internal gauge transformations, which in combination give rise to a quantum-gravitational gauge group. The parallel transport of related gauge frames involves geometrized versions of Faddeev-Popov fields derived from Maurer-Cartan structural equations for that gauge group in a supergauge context. The quantum-gravitational connection∇ gives rise to a geometro-stochastic propagation of quantum-gravitational states which is interrelated to the evolution of various Lorentzian geometries in the base manifoldM. For each set of suitable initial conditions this mutual interaction reduces the quantum pregeometry overGL(M) to a quantum space-time represented by gravitational quantum (super)fibre bundles over supermanifolds based on mean Lorentzian geometries (M,ḡ) inM.

Riassunto

Si presenta una formulazione geometrica stocastica della gravità quantistica che è covariante rispetto alla trasformazione di gauge di Poincaré e ai gauge interni connessi ai cambiamenti di coordinate locali nella varietà di base dei fasci di fibre quantogravitazionali. In questa formulazione il gravitone è un eccitone geometrico-stocastico senza massa di spin 2 che mostra cosí un’estensione stocastica media di tipo stringa dell’ordine della lunghezza di Planck. Si ottiene una pregeometria quantistica costruendo dagli stati di tali gravitoni fibre di tipo Fock sul fascio di struttura lineare generaleGL(M) di una varietà differenziale di baseM. Queste fibre sono unite quindi aM per mezzo di forme di saldatura uniche fornite da varie geometrie pseudo Riemanniane/Lorentziane in regioni adatte di quella varietà. La propagazione del gravitone è controllata da una connessione di seconda quantizzazione∇ invariante in trasformazioni di gauge esterno e interno, che combinate danno origine ad un gruppo di gauge quanto-gravitazionale. Il trasporto parallelo di strutture di gauge connesse implica versioni geometrizzate dei campi di Faddeev-Popov dedotte da equazioni strutturali di Maurer-Cartan per quel gruppo di gauge in un contesto di super gauge. La connessione quanto-gravitazionale∇ dà origine ad una propagazione geometrico-stocastica di stati quanto-gravitazionali che è correlata all’evoluzione di varie geometrie Lorentziane nella varietà di baseM. Per ogni set di condizioni iniziali questa mutua interazione riduce la pregeometria quantistica suGL(M) ad uno spazio tempo quantistico rappresentato da un fascio di (super) fibre quantistiche gravitazionali su supervarietà basate su geometrie Lorentziane medie (M,ḡ) inM.

Реэюме

Предлгается геометро-стохастич еская формулировка квантовой гравитации, которая является ковариантной относительно колибровочных преобраэований Пуанкре. В зтой формулировке гравитон представляет беэмассовое геометро-стохастич еское воэбуждение со спином 2, которое обнаруживает струно-подобные средние стохастические раэмеры, порядка длины Планка. Получается квантовая прегеометрия, путем конструирования иэ состояний таких гравитонов нитей фоковского типа в обшем линейном семействеGL(M) для баэового дифференциального множестваM. Эти нити эатем спаиваются при помоши выражений, удовлетворяюших раэличным псеадо-Римановой/Лор енцевой геометриям в соответствуюших областях зтого множества. Распространение гравитона определяется вторично-квантован ной свяэью V, инвариантной относительно внещних и внутренних калибровочных преобраэований, которые вместе приводят к квантовой гравитационной калибровочной группе. Параллельный перенос свяэанных калибровочных систем включает геометрические варианты полей фаддеева-Попова, выведенных иэ структурных уравнений Маурера-Картана для зтой калибровочной группы в суперкалибровочном контексте. Квантовая гравитационная свяэь ∇ приводит к геометро-стохастиче скому распространению квантовых гравитационных состояний, которое вэаимосвяэано с зволюцией раэличных Лоренцевых геометрий в баэовом множествеM. Ддя каждой системы соответствуюших начальных условий зто вэаимодействие преобраэует квантовую геометрию вGL(M) к квантовому пространству-времени, которое представляется с помошью гравитационного квантового семейства нитей, на семействе Лоренцевой системыL(M, g) для средней Лоренцевой геометрии (M, g) вM.