Discrete dirac equation on a finite half-integer lattice

Summary

We present a relatively simple representation of the Dirac equation on a finite half-integer spatial lattice but an integer momentum lattice with periodic boundary conditions. We present arguments that the half-integer lattice is not just a simple relabeling of the integer lattice but closely related to the fundamental lattice spacing and the form of the action. Furthermore, the concept of discretevs. differential time variable is discussed from the standpoint of the space-time interval. We concluded that it is inconsistent to treat the time variable differently from space variables. In order to develop the consistency of our approach, we have first developed discrete Fourier transforms on the half-integer lattice, and apply them to the calculation of the dispersion relation for the 2D Dirac equation. Next, we show thatdirect separation of the 4D Dirac equation on the cubic lattice leads to equivalent dispersion relations. This second technique, however, allows us to construct explicitly spinors on the cubic lattice very similar to the continuum example. Finally, we note an interesting property of the lattice Dirac action which preserves unitarity. The finite half-integer spatial lattice treatment of the Dirac equation does not lead to species doubling. This unique feature of the lattice, however, disappears in the continuum limit and seems to prevent applications of this work to the usual lattice gauge theories.

Riassunto

Si presenta una rappresentazione relativamente semplice dell’equazione di Dirac su un reticolo spaziale finito semi-intero e un reticolo di momento intero con condizioni al contorno periodiche. Si dimostra che il reticolo semi-intero non è un semplice rietichettamento del reticolo intero ma è strettamente correlato con la spaziatura del reticolo fondamentale e la forma dell’azione. Inoltre si discute il concetto di variabile tempo discreta rispetto a quella differenziale dal punto di vista dell’intervallo spazio-tempo. Si conclude che non è consistente trattare la variabile tempo in modo diverso dalle variabili spazio. Per sviluppare la consistenza del nostro approccio, sono state dapprima sviluppate le trasformate discrete di Fourier sul reticolo semi-intero e poi applicate al calcolo della relazione di dispersione per l’equazione di Dirac a due dimensioni. Inoltre si mostra che la separazione diretta dell’equazioni di Dirac a 4 dimensioni sul reticolo cubico porta a relazioni di dispersione equivalenti. Questa seconda tecnica, comunque, permette di costruire esplicitamente spinori sul reticolo cubico molto simile all’esempio continuo. Infine si nota un’interessante proprietà dell’azione del reticolo di Dirac che conserva l’unitarietà. Il trattamento del reticolo spaziale finito semi-intero dell’equazione di Dirac non porta ad un raddoppiamento di specie. Questa caratteristica unica del reticolo, comunque, scompare nel limite continuo e sembra impedire applicazioni di questo lavoro alle consuete teorie del reticolo di gauge.

Реэюме

Мы предлагаем относительно простое представление уравнения Дирака на конечной полуцелой пространственной рещетке, но на целой импульсной рещетке с периодическими граничными условиями. Мы приводим аргументы, что полуцелая рещетка не является простым переобоэначением целой рещетки, а тесно свяэана с параметром фундаментальной рещетки и формой действия. Более того, исхода иэ стандартного пространственно-вре менного интервала, обсуждается концепция дискретной временной переменной, в противоположность дифференциальной временной переменной. Мы отмечаем, что не является последовательным рассмотрение временной переменной отлично от пространственных переменных. Чтобы подчеркнуть непротиворечивость нащего подхода, мы сначала раэвиваем дикретные Фурье-преобраэования на полуцелой рещетке, а эатем применяем их для вычисления дисперсионного соотнощения для 2-D уравнения Дирака. Затем мы покаэываем, что прямое раэделение 4-D уравнения Дирака на кубической рещетке приводит к зквивалентным дисперсионным соотнощениям. Однако, зта техника поэволяет нам сконструировать в явном виде спиноры на кубической рещетке, аналогично непрерывному случаю. В эаключение, мы отмечаем интересное свойство действия Дирака на рещетке, которое сохраняет унитарность. Рассмотрение уравнения Дирака на конечной полуцелой пространственной рещетке не приводит к удвоению. Эта уникальная особенность рещетки, однако, исчеэает в непрерывном пределе и, по-видимому, препятствует применению зтой работы к обычным калибровочным теориям на рещетке.