Classical field theory in the space of reference frames

Summary

The formalism of classical field theory is generalized by replacing the space-time manifoldM by the ten-dimensional manifoldL of all the local reference frames. The geometry of the manifoldL is determined by ten vector fields corresponding to ten operationally defined infinitesimal transformations of the reference frames. The action principle is written in terms of a differential 4-form in the spaceL (the Lagrangian form). Densities and currents are represented by differential 3-forms inL. The field equations and the connection between symmetries and conservation laws (Noether's theorem) are derived from the action principle. Einstein's theory of gravitation and Maxwell's theory of electromagnetism are reformulated in this language. The general formalism can also be used to formulate theories in which charge, energy and momentum cannot be localized in space-time and even theories in which a space-time manifold cannot be defined exactly in any useful way.

Riassunto

Si generalizza il formalismo della teoria classica dei campi sostituendo alla varietà spazio-temporaleM la varietàL a dieci dimensioni costituita da tutti i sistemi di riferimento locali. La geometria della varietàL è determinata da dieci campi vettoriali corrispondenti a dieci trasformazioni infinitesime dei sistemi di riferimento, che sono definite operativamente. Si scrive il principio d'azione in termini di una forma differenziale del quarto ordine nello spazioL (forma lagrangiana). Le densità e le correnti sono rappresentate da forme differenziali del terzo ordine nello spazioL. Dal principio d'azione si derivano le equazioni di campo e la relazione tra proprietà di simmetria e leggi di conservazione (teorema di Noether). Si riformulano in questo linguaggio la teoria di Einstein della gravitazione e la teoria di Maxwell dell'elettromagnetismo. Nel formalismo generale si possono formulare teorie in cui la carica, l'energia e la quantità di moto non possono essere localizzate nello spazio-tempo ed anche teorie in cui una varietà spazio-temporale non può essere definita esattamente in alcun modo utile.

Резюме

Формализм классической теории поля обобщается посредством замены пространственно-временного множестваM десятимерным множествомL всех локальных систем отсчета. Геометрия множестваL определяется с помощью десяти векторных полей, соответствующих десяти операторно заданных бесконечно малых преобразований систем отсчета. Принцип действия записывается в виде дифференциальной 4-формы в пространствеL (лагранжианная форма). Плотности и токи представляются с помощью дифференциальных 3-форм вL. Из принципа действия выводятся уравнения поля и связь между сумметриями и законами сохранения (теорема Ноэтера). Заново формулируются теория гравитации Эйнштейна и теория электромагнетизма Максвелла. Общий формализм может быть также использован для формулировки теорий, в которых заряд, энергия и импульс не могут быть локализованы в пространстве-времени, и теорий, в которых пространственно-временное множество не может быть определено точно.