Dynamical model ofSU ₃ for baryons based on a gravitationally bound linear rotator

Summary

A model of baryons is presented according to which each baryon consists of 3 real massive constituent particles (quarks or unitons) bound together by superstrong gravitational forces. Such strong gravitational forces arise because the free mass of each constituent particle is of the order of 1/2(ħc/G)^1/2, whereG is the universal gravitational constant. Applying Lagrange’s analysis of the gravitational 3-body problem to this model, we obtain the straight-line configuration (linear rotator or gravitational string) as the only stable solution (the other solution is the equilateral triangle) that is consistent with the Pauli principle and with the observed data for the proton and neutron. This gravitational model accounts for the 3-quark saturation of baryons, since no stable gravitational configuration consisting of more than 3 particles exists. The very strong gravitational binding of the three quarks-of the order of 10¹⁹ GeV-accounts for the fact that no free quarks have been knocked out of baryons in even the most energetic scattering experiments performed thus far. With two of the bound quarks in our model in one rotational state (at the end points) and the third at the center of our linear configuration it is unnecessary to introduce para-Fermi statistics to satisfy the exclusion principle so that colored quarks are not required. If we introduce three distinct quarks p, n, λ, where n and λ have the same charge, but differ in strangeness, we obtain a total of 27 linear configurations by considering all possible triplet combinations. Only 18 of these survive as distinct however, since the interchange of the two end quarks in any one of the linear configurations gives no new configuration. We show that this group of 18 distinct configurations breaks up quite naturally into an octet and a decimet, so that a correct count of baryon states, with their correct quantum numbers, is a natural consequence of our model. Applying a straightforward first-order Bohr-type calculation to our rigid-rotator model for a nucleon, we obtain 1.02 · 10⁻¹³ cm for the nucleon radius and + 0.8 MeV for the neutron-proton mass difference, which is about é of the correct value. In the same way, assuming that both the p and n quarks haveg-factors of 1, we obtain +2.5 and −2.0 nuclear magnetons for the magnetic moments of the proton and neutron, respectively. If, however, theg-factor of the n-quark is 2 and that of the p-quark is 1, for which we present strong theoretical evidence, the two magnetic moments are +3.0 and −2.0 nuclear magnetons. We show that the matrix representation of theSU ₃-group for baryons can be factorized into a product of threeSU ₂ rotations. This leads to a natural dynamical interpretation of the baryon quantum numbers, if we assume that each of the three matrix factors represents the rotational degrees of freedom of one of the quarks in our dynamical model. In particular, we find that «strangeness» is related to the relativistic precession of the end quark in the strong gravitational field of the center quark. This conclusion is strengthened by two facts: 1) the strangeness quantum number enters into the Gell-Mann-Okubo mass formula in exactly the same way as the precession of an atom in a diatomic molecule enters into the energy level formula for the diatomic molecule, 2) the relativistic precession of the quark in our model leads us again to the quantization conditionGm ² ≈ħc.

Riassunto

Si presenta un modello di barioni secondo il quale ciascun barione è formato da 3 particelle costituenti reali provviste di massa (quark o unitoni) legate tra loro da forze gravitazionali superforti. Tali forze gravitazionali forti sorgono perché la massa libera di ciascuna particella costituente è dell’ordine di 1/2(ħc/G)^1/2, doveG è la costante di gravitazione universale. Applicando l’analisi di Lagrange del problema gravitazionale a 3 corpi a questo modello si ottiene la configurazione di linea retta (rotore lineare o corda gravitazionale) come unica soluzione stabile (l’altra soluzione è il triangolo equilatero) che è in accordo con il principio di Pauli e con i dati osservati per il protone e il neutrone. Questo modello gravitazionale spiega la saturazione a 3 quark dei barioni, dato che non esiste alcuna configurazione gravitazionale stabile composta da più di 3 particelle. Il legame gravitazionale molto forte di 3 quark-dell’ordine 10⁹ GeV-dà una spiegazione del fatto che nessun quark libero è stato espulso dai barioni perfino negli esperimenti di scattering a più alta energia effettuati fino ad ora. Con due dei quark legati del nostro modello in uno stato rotazionale (ai punti estremi) e il terzo al centro della nostra configurazione lineare non è necessario introdurre la parastatistica di Fermi per soddisfare il principio di esclusione, cosicché i quark colorati non sono richiesti. Se si introducono 3 quark distinti p, n e λ, dove n e λ hanno la stessa carica ma differiscono per la stranezza, si ottengono un totale di 27 configurazioni lineari considerando tutte le possibili combinazioni a tripletto. Comunque, solamente 18 tra queste sopravvivono come distinte, dato che lo scambio dei due quark alle estremità in ciascuna delle configurazioni lineari non porta ad alcuna nuova configurazione. Si mostra che questo gruppo di 18 configurazioni distinte si spezza abbastanza naturalmente in un ottetto ed un decimetto, cosicché un conteggio corretto degli stati barionici, con il loro corretto numero quantico, è la conseguenza naturale del nostro modello. Applicando un calcolo diretto del primo ordine del tipo di Bohr al nostro modello di rotore rigido per un nucleone, si ottiene un valore di 1.02 · 10⁻¹³ cm per il raggio del nucleone e + 0.8 MeV per la differenza di massa tra il protone ed il neutrone che è circa é del valore corretto. Nello stesso modo, se si suppone che i quark n e p abbiano lo stesso fattoreg uguale a 1, si ottengono i valori + 2.5 e − 2.0 magnetoni nucleari per i momenti magnetici del protone e del neutrone, rispettivamente. Tuttavia, se il fattoreg del quark n è uguale a 2 e quello del quark p è 1, per la qual cosa si presenta una forte prova teorica, i due momenti magnetici risultano essere + 3.0 e − 2.0 magnetoni nucleari. Si mostra che la rappresentazione matriciale del gruppoSU ₃ per i barioni può essere fattorizzato in un prodotto di 3 rotazioni diSU ₂. Questo porta ad un’interpretazione dinamica naturale dei numeri quantici dei barioni, se si suppone che ciascuno dei 3 fattori matriciali rappresenti i gradi di libertà rotazionali di uno dei quark nel nostro modello dinamico. In particolare, si trova che la «stranezza» è in relazione con la precessione relativistica del quark all’estremità nel forte campo gravitazionale del quark centrale. Questa conclusione è sostenuta da due fatti: 1) il numero quantico di stranezza entra a far parte della formula di massa di Gell-Mann-Okubo esattamente nello stesso modo in cui la precessione di un atomo di una molecola diatomica entra nella formula dei livelli di energia per le molecole diatomiche, 2) la precessione relativistica del quark nel nostro modello ci porta di nuovo alla condizione di quantizzazioneGm ² ≈ħc.

Реэюме

Предлагается модель барионов, в соответствии с которой каждый барион состоит иэ трех реальных массивных составляюших частиц (кварков или унитонов), свяэанных суперсильными гравитационными силами. Такие сильные гравитационные силы воэникают, потому что свободная масса каждой составляюшей частицы имеет порядок 1/2(ħc/G)^1/2, гдеG есть универсальная гравитационная постоянная. Применяя аналиэ Лагранжа гравитационной проблемы трех тел к зтой модели, мы получаем прямолинейную конфигурацию (линейный ротатор или гравитационная струна) как единственное устойчивое рещение (другое рещение представляет равносторонний треугольник), что согласуется с принципом Паули и наблюдаемыми данными для протона и нейтрона. Эта гравитационная модель общясняет трехкварковое насышение барионов, так как не сушествует устойчивой гравитационной конфигурации, состояшей более, чем иэ трех частиц. Очень сильная гравитационная свяэь трех кварков — порядка 10¹⁹ ГзВ — общясняет тот факт, что свободные кварки не выбиваются иэ барионов даже в зкспериментах по рассеянию при очень высоких знергиях, которые были проведены до сих пор. В случае, когда два свяэанных кварка в нащей модели в одном ротационном состоянии (в концевых точках) и третий в центре нащей линейной конфигурации, то необходимо ввести пара-Ферми статистику, чтобы удовлетворить принципу эапрета, так что цветные кварки не требуются в рассмотрении. Если мы вводим три раэличных кварка р, n, λ, где n и X имеют тот же эаряд, но раэличаются по странности, то мы получаем 27 линейных конфигураций, рассматривая все воэможные триплетные комбинации. Иэ зтих конфигураций остаются только 18, так как перестановка двух концевых кварков в линейных конфигурациях не приводит к новой конфигурации. Мы покаэываем, что зта группа иэ 18 раэличных конфигураций распадается естественным обраэом на октет и децимет, так что правильный подсчет барионных состояний, с правильными квантовыми числами, является следствием нащей модели. Проиэводя вычисления в первом порядке для нащей модели жесткого ротатора для нуклона мы получаем 1.02·10⁻¹³см для радиуса нуклона и +0.8 МзВ для раэности масс нейтрона и протона, которая составляет около 2/3 от правильной величины. Таким же обраэом, предполагая, что оба р и n кварки имеютg-факторы 1, мы получаем +2.5 и −2.0 ядерных магнетона для магнитных моментов протона и нейтрона соответственно. Однако, еслиg-фактор n-кварка равен 2, а для р-кварка 1, для которого мы представляем теоретическое подтверждение, то магнитные моменты составляют +3.0 и −2.0 ядерных магнетонов. Мы покаэываем, что матричное представление группыSU ₃ для барионов может быть факториэовано в проиэведение трехSU ₂ врашений. Это приводит к естественной динамической интерпретации квантовых чисел барионов, если мы предположим, что каждый иэ трех матричных факторов представляет врашательные степени свободы одного иэ кварков в нащей динамической модели. В частности, мы находим, что «странность » свяэана с релятивистской прецессией концевого кварка в сильном гравитационном поле центрального кварка. Этот вывод подтверждается двумя фактами: 1) Квантовое число странности входит в массовую формулу Гелл-Мана-Окубо точно таким же обраэом, как прецессия атома в двухатомной молекуле входит в формулу знергетических уровней для двухатомной молекулы. 2) Релятивистская предессия кварка в нащей модели приводит снова к условию квантованияGm ² ≈ ħc.