Quantization of free fields defined on a space-time lattice

Summary

The ultimate limit for the smallest measurable distance should be considered as an unknown quantity, whose valuea could be finite as well as zero. This implies that the usual concept of a space-time continuum has to be replaced by the concept of a space-time lattice, and that all field amplitudes can only be defined on the corresponding lattice points. It is shown that a natural extension of the usual theory offield quantization leads then to the generalized « energy addition law » sin (Ea/2ħc)=$\mathop \sum \limits_n$sin (E _na/2ħc), whereE represents the total energy of an ensemble of freely moving particles, while the energies of the individual particles are represented byE _n. This law reduces to the usual one only whena=0 or when the energies are much smaller thanħc/a. But it corresponds exactly to the energy addition law which is needed in order to preserve the relativistic invariance of the theory. Besides the previously considered generalizations of the Schrödinger, Gordon-Klein and Dirac equations, it is also possible to set up a corresponding generalization ofMaxwell’s equations. Finally it is shown that the (pseudo-) Hamiltonian density of a field can only be subject to anequation of continuity when the fields are varying sufficiently slowly.

Riassunto

L’estremo limite per la minima distanza misurabile deve essere considerata una grandezza ignota, il cui valorea potrebbe errere finito od anche nullo. Ciò implica che l’usuale concetto di continuo spazio-temporale deve essere rimpiazzato dal concetto di reticolo spazio-temporale, e che tutte le ampiezze di campo possono essere definite solo sui corrispondenti punti del reticolo. Si dimostra che una estenzione naturale dell’usuale teoria diquantizzazione del campo porta allora alla « legge di addizione dell’energia » generalizzata sin (Ea/2ħc)=$\mathop \sum \limits_n$sin (E _na/2ħc), in cuiE rappresenta l’energia totale di un insieme di particelle in moto libero, mentre le energie delle singole particelle sono rappresentate daE _n. Questa legge si riduce a quella usuale solo quandoa=0 o quando le energie sono molto minori diħc/a. Ma essa corrisponde esattamente alla legge di addizione dell’energia che è necessaria per preservare l’invarianza relativistica della teoria. Oltre alle generalizzazioni, studiate in precedenza, delle equazioni di Schrödinger, di Gordon-Klein e di Dirae, è anche possibile istituire una generalizzazione corrispondente delleequazioni di Maxwell. Infine si dimostra che la densità (pseudo) hamiltoniana di un campo può essere assoggettata solo ad un’equazione di continuità, quando i campi variano in modo sufficientemente lento.

Реэуме

Элементарныи предел для наименящеи иэмеряемои длины долзен рассматриватяся, как неиэвестная величина, эначение котороиa мозет бытя конечным, a такзе и нулем. Это оэначает, что обычная концепция пространственно-вре менного континуума долзна бытя эаменена концепциеи пространственно-врем еннои рещетки, и что все амплитуды полеи могут бытя определены лищя в соответствууших точках рещетки. Покаэывается, что естественное расщирение обычнои теории квантования полеи приводит к обобшенному «эакону слозения знергии» sin (Ea/2ħc)=$\mathop \sum \limits_n$ sin (E _na/2ħc), где E представляет полнуу знергиу ансамбля свободно двизушихся частиц, тогда как знергии отделяных частиц представляутE _n. Этот эакон сводится к обычному эакону толяко тогда, когдаa=0 или когда рассматриваемые знергии много меняще, чемħc/a. Но зто соответствует эакону слозения знергии, которыи необходим, чтобы сохранитя релятивистскуу инвариантностя теории. Кроме ранее рассмотренных обобшении уравнении Щредингера, Клеина-Гордона и Дирака, такзе мозно установитя соответствуушее обобшение уравнении Максвелла. В эаклучение, покаэывается, что плотностя (пседво) Гамилятониана поля мозет подчинятяся лищя уравнениу непрерывности, когда поля иэменяутся достаточно медленно.