Form factors and equal-time commutators

Summary

We study the equal-time commutator of the charge and current sandwiched between states of unequal momenta, considering the momentum transfer between the two states as a new independent variable. One notes that usual current algebra sum rules are obtained at zero momentum transfer, probing the equal-time commutator by usingq ² (the 4-momentum square of the current) as a variable, namely, the Adler-Weisberger and the Cabibbo-Radicati sum rules. By our new approach, we study the dispersion method (Dashen-Fubini-Gell-Mann sum rule) and the current algebra method (using Ward identity, specifically the Weisberger approach). We find that they give the same result for the pion, but different results for the nucleon. The difference (due to spin) is traced down to the question of subtraction. We comment on that at the end.

Riassunto

Si studia il commutatore di tempi uguali della carica e della corrente inserito fra stati di impulso disuguale, considerando come nuova variabile indipendente l’impulso trasferito fra i due stati. Si nota che le usuali regole di somma dell’algebra delle correnti si ottengono per impulso trasferito nullo, esplorando il commutatore di tempi uguali usandoq ² (il quadrato del quadrimpulso della corrente) come variabile, cioè le regole di somma di Adler-Weisberger e di Cabibbo-Radicati). Con questo nuovo approccio si studia il metodo delle dispersioni (regola di somma di Dashen-Fubini-Gell-Mann) ed il metodo dell’algebra delle correnti (usando l’identità di Ward, e specificamente l’approccio di Weisberger). Si trova che essi danno lo stesso risultato per il pione, ma risultati diversi per il nucleone. Si fa risalire la differenza (dovuta allo spin) alla questione della sottrazione. Su questo si fanno commenti alla fine.

Реэуме

Рассматривая передаваемыи импуляс мезду двумя состояниями, как новуу неэависимуу переменнуу, мы исследуем равновременнои коммутатор эаряда и тока мезду состояниями с неравными импулясами. Отмечается, что обычные правила сумм алгебры токов получаутся при нулевом передаваемом импулясе, когда исследуется равновременнои коммутатор, посредством исполяэованияq ² (квадрата 4-импуляса тока), как переменнои, то естя правила сумм Адлера-Веисбер-гера и Кабиббо-Радикати. С помошяу нащего нового подхода мы исследуем дисперсионныи метод (правило сумм Дащена-Фубини-Гелл-Ма нна) и метод алгебры токов (исполяэуя тоздество Уорда, особенно, подход Веисбергера). Мы находим, что они даут одинаковыи реэулятат для пионов, но раэличныи реэулятат для нуклонов. Укаэанная раэностя (обусловленная спином) прослезивается вплотя до проблемы вычитания. В эаклучение мы проводим обсуздение зтого вопроса.