A rigorous method for solving nonlinear equations: Hartree-Fock and related problems

Summary

A rigorous iteration method for the solution of nonlinear equations in Banach spaces, due to Isaac Newton and Kantorovič, is reported. We consider its application to three nonlinear problems of atomic and nuclear physics, in finite-dimensional spaces: the ordinary, the constrained and a generalized Hartree-Fock problem. We have proved the existence of a solution of the Hartree-Fock equations and its uniqueness in a definite small region of the functional space, for the nucleus¹⁶O. This method converges faster than the usual Hartree algorithm and displays some further advantages.

Riassunto

Si descrive un rigoroso metodo iterativo per la soluzione di equazioni non lineari in spazi di Banach, dovuto ad Isaac Newton ed a Kantorovič. Ne consideriamo l’applicazione a tre problemi non lineari di fisica atomica e nucleare, in spazi a dimensione finita: il problema di Hartree-Fock ordinario, quello con vincoli ed un problema generalizzato. Per il nucleo¹⁶O abbiamo dimostrato l’esistenza di una soluzione delle equazioni di Hartree-Fock e la sua unicità in una ben definita, piccola regione dello spazio funzionale. Questo metodo converge più velocemente dell’usuale algoritmo di Hartree e presenta alcuni ulteriori vantaggi.

Реэюме

Предлагается строгий итерационный метод для рещения нелинейных уравнений в пространствах Банаха, раэработанный Исааком Ньютоном и Канторовичем. Мы рассматриваем применение зтого метода к трем нелинейным проблемам атомной и ядерной фиэики в конечно-мерных пространствах: обыкновенной, ограниченной и обобшенной проблеме Хартри-Фока. Мы докаэали сушествование рещения уравнений Хартри-Фока и его единственность в определенной малой области функционального пространства, для ядра¹⁶O. Этот метод сходится быстрее, чем обычный алгоритм Хартри и обнаруживает некоторые дополнительные преимушества.