Weylian geometry and first-order wave equations

Summary

If one tries to build axiomatically the Einsteinian theory of gravitation by means of the basic concepts «event, light ray and freely falling particle», one arrives at a Weyl and not at a Riemann spacetime. However, Audretsch has recently proved the following remarkable theorem: if one assumes that the motion of the particle is governed by Dirac, or Klein-Gordon, wave equation, the above Weyl space-time degenerates into a Riemann space-time. In this paper, we give a synthetic—and more general—proof of Audretsch’s result.

Riassunto

Se si cerca di costruire assiomaticamente la teoria gravitazionale di Einstein per mezzo dei concetti fondamentali «evento, raggio luminoso e particella in caduta libera», si perviene ad uno spazio-tempo di Weyl anziché ad uno spazio-tempo di Riemann. Audretsch ha però dimostrato recentemente questo notevole teorema: se si suppone —com’è del tutto ragionevole—che, in un quadro piú raffinato, il moto della particella obbedisca all’equazione di Dirac, o di Klein-Gordon, il suddetto spazio-tempo di Weyl si riduce ad uno spazio-tempo di Riemann. Nel presente lavoro si dà una dimostrazione sintetica, e piú generale, del risultato di Audretsch.