Prolongation theory of the three-wave resonant interaction

Summary

The three-wave resonant interaction in 1+1 dimensions is studied systematically within the prolongation scheme, which turns out to be a convenient framework for handling this process. Our analysis is carried out via a method which exploits both theSL_3,c algebra associated with the three-wave equations and integrability requirements. Our procedure, which may be applied to other nonlinear evolution equations, works without fixing from the start representations of the algebra, and in the case of pseudopotentials with an arbitrary number of components. Bäcklund transformations which provide known and new explicit solutions are found, and inherent symmetry properties are discovered.

Riassunto

Si studia sistematicamente l’interazione di tre onde risonanti in dimensioni 1+1 nello schema di prolungamento, che si rivela molto conveniente per la trattazione di questo processo. La nostra analisi si basa su una procedura che utilizza l’algebraSL_3,c associata all’equazioni delle tre onde e condizioni d’integrabilità. Il nostro metodo, che può essere applicato ad altre equazioni di evoluzione non lineari, funziona senza fissare in partenza rappresentazioni dell’algebra, e nel caso di pseudopotenziali con un numero arbitrario di componenti. Sono determinate trasformazioni di Bäcklund che forniscono sia soluzioni note che soluzioni nuove, e si scoprono alcune proprietà di simmetria interne delle equazioni in esame.