Normal forms for Hamiltonian maps and nonlinear effects in a particle accelerator

Summary

We describe the motion of a particle in the lattice of a hadron accelerator using the formalism of symplectic maps. We revisit the Courant-Snyder’s theory and we stress that the reduction to normal form of a symplectic map is just the natural generalization of the linear theory. We show that a simple FODO cell (formed by linear elements and a sextupole) can be reduced to a quadratic map, for which some results are presented. We show also that it is possible to recover a continuum limit from a discrete description of the lattice. Finally a study of a one-dimensional model for LHC is made. The normal forms are used to compute the tune shifts and smear in various configurations. A comparison is made with the tracking results and an excellent agreement is found in a region whose boundary is close to the dynamical aperture. This suggests that the two-dimensional extension of the method is well suited to treat the coupled betatron nonlinear oscillations.

Riassunto

Si descrive il moto di una particella in un acceleratore di adroni, usando il formalismo delle mappe simplettiche. Viene rivista la teoria di Courant-Snyder e si mostra che la riduzione in forma normale di una mappa simplettica è la naturale generalizzazione del caso lineare. Si prova che una cella FODO semplice (composta da elementi lineari e da un sestupolo) può essere ricondotta a una mappa quadratica, per la quale si presentano alcuni risultati e si mostra che è possibile recuperare il limite continuo partendo da una descrizione discreta del sistema. Infine si effettua uno studio di un modello unidimensionale per LHC; si usano le forme normali per calcolare il «tune shift» e lo «smear» in varie configurazioni, si fa un confronto con i risultati del «tracking» e si riscontra un eccellente accordo in una zona il cui limite è non lontano dall’apertura dinamica. Questo suggerisce che l’estensione del metodo a due dimensioni potrà essere un valido strumento per trattare le oscillazioni nonlineari accoppiate di betatrone.

Резюме

Мы описьваем движение частицы в решетке адронного ускорителя, используя формализм симплексных отображений. В связи с этим мы заново рассматриваем теорию Куранта-Снайдера. Мы подчеркиваем, что преобразование к нормальной форме симплексного отображения, в нерезонансном случае, представляет естественное обобщение теории Куранта-Снайдера, чтобы включить сдвига настройки и для размывания квадратичного обображения. Мы показываем, что можно получить непрерывный предел из дискетного описания решетки. Исследется одномерная модель для большого адронного коллайдера. Мы вычисляем сдвиг настройки и размывание в различных ситуациях, используя метод нормальных сдвиг настройки и размывание в различных ситуациях, используя метод нормальных форм в программе. Мы сравниваем результаты для нормальных форм в различных порядках возмущений с результатами, полученными с использованием модели тонких линз для той же решетки.