Diffraction by perfectly conducting plane screens

Summary

A previously developed Hilbert-space formulation of electromagnetic diffraction is employed to solve the general problem of diffraction by perfectly conducting plane screens. There appears to be a trade-off between employing such a constrained mathematical context and the more loosely defined contexts previously employed to solve these problems. Whereas the latter type of context admits more of the idealized physical elements, such as infinite linearly polarized plane waves, etc., the Hilbert-space context possesses more algebraic and geometrical structure, giving rise to fundamental insights concerning the diffractive process. For screens of bounded edge (i.e. screens for which either the aperture or screen is spatially bounded), the diffracted fields are shown to be unique. For this latter type of screen, the diffracted field isexplicitly given in terms of the incident field by a single linear transformation which is both closed and idempotent. The use of orthogonal projections to express the boundary conditions enables us to obviate the usual dual integral equations, and hence to characterize the diffractive process by this single linear transformation. In case zero is not in the spectrum of a certain positive self-adjoint operator, the diffracted field can be described by a von Neumann series. In such a series, the zeroth term has the appearance of an electromagnetic « black screen » term, with the higher-order terms of the series representing increasing degrees of scattered contributions from the induced currents in the screen.

Riassunto

Si usa una formulazione della diffrazione elettromagnetica nello spazio di Hilbert, sviluppata precedentemente, per risolvere il problema generale della diffrazione da parte di schermi piani perfettamente conduttori. Risulta che vi è uno scambio fra l’impiego di un tale contesto matematico vincolato e i oontesti definiti più liberamente precedentemente impiegati per risolvere questi problemi. Mentre questo ultimo tipo di contesto ammette maggiormente gli elementi fisici idealizzati, come onde piane polarizzate linearmente infinite, ecc., il contesto dello spazio Hilbertiano possiede maggiori strutture algebriche e geometriche, permettendo visioni più fondamentali del processo di diffrazione. Per schermi con bordo limitato (cioè schermi in cui l’apertura o lo schermo stesso sono spazialmente limitati), si dimostra che i campi diffratti sono unici. Per quest’ultimo tipo di schermo, si dàesplicitamente il campo diffratto in termini del campo incidente mediante una singola trasformazione lineare che è allo stesso tempo chiusa e idempotente. L’uso delle proiezioni ortogonali per esprimere le condizioni al contorno ci permette di ovviare alle usuali equazioni integrali duali, e quindi di caratterizzare il processo di diffrazione con questa sola trasformazione lineare. Nel caso che non ci sia lo zero nello spettro di un certo operatore autoaggiunto positivo, si può descrivere il campo diffratto con una serie di von Neumann. In questa serie il termine di ordine zero ha l’aspetto di un termine di « schermo nero » elettromagnetico, mentre i termini di ordine superiore rappresentano grandi crescenti di contributi diffratti dalle correnti indotte nello schermo.