Decomposition into irreducible representations for the canonical commutation relations

Summary

It is shown that every representation of the CCR of the Gårding-Wightman type and every continuous representation with a nuclear F- or LF-space as test-function space is a direct integral of irreducible representations. These test-function spaces include in particular the spacesS andD of Schwartz and all spaces of Gel’fand. The results are then carried over to incorporate transformation groups and canonical anticommutation relations. Finally, the close relation between CCR and quasi-invariant (cylinder) measures on infinite-dimensional spaces is used to obtain a decomposition of these measures into a superposition of ergodic measures. The latter correspond to irreducible representations of the CCR.

Riassunto

Si dimostra che ogni rappresentazione del CCR del tipo di Gårding-Wightman ed ogni rappresentazione continua con un spazio L o LF nucleare come spazio delle funzioni di prova è un integrale diretto di rappresentazioni irriducibili. Questi spazi delle funzioni di prova comprendono in particolare gli spaziS eD di Schwartz e tutti gli spazi di Gel’fand. Si estendono i risultati in modo da incorporare i gruppi di trasformazioni e le relazioni di anticommutazione canoniche. Infine si usa la stretta relazione fra CCE e misure quasi invarianti (cilindriche) su spazi ad infinite dimensioni per ottenere una decomposizione di queste misure in una sovrapposizione di misure ergodiche. Queste ultime corrispondono a rappresentazioni irriducibili delle CCR.

Резюме

Показывается, что каждое представление канонических коммутационных соотношений типа Гардинга-Вайтмана и каждое непрерывное представление с ядерным F- или LF-пространством, в качестве пространства пробных функций, представляет прямой интеграл неприводимых представлений. Эти пространства пробных функций включают, в частности, пространства S и D Шварца и все пространства Гельфанда. Эти результаты затем обобщаются, чтобы включить трансформационные группы и канонические антикоммутационные соотношения. Наконец, непосредственная связь между каноническими коммутационными соотношениями и квази-инвариантными (цилиндрическими) мерами на бесконечномерных пространствах используется для получения разложения этих мер на суперпозицию эрго-дических мер. Последние соответствуют неприводимым представлениям канонических коммутационных соотношений.