A computational method for eigenvalues and eigenvectors

Summary

The gradient (steepest descent) method is developed in a suitable topology for the calculation of isolated eigenvalues and eigenvectors of a self-adjoint, semi-bounded operator in a Hilbert space. Sufficient conditions for the convergence of successive approximations for the eigenvalues and eigenvectors are given. The method can be applied to a wide class of Hamiltonian operators and appears to be advantageous compared with perturbation theory, both from the mathematical and the practical point of view.

Riassunto

Si sviluppa in un'opportuna topologia il metodo del gradiente (della più ripida discesa) per il calcolo di autovalori discreti ed autovettori di un operatore autoaggiunto e semilimitato in uno spazio di Hilbert. Si danno delle semplici condizioni sufficienti per la convergenza delle approssimazioni successive agli autovalori ed agli autovettori. Il metodo può essere applicato ad un'ampia classe di operatori Hamiltoniani e sembra vantaggioso in paragone alla teoria delle perturbazioni sia da un punto di vista matematico, sia da uno pratico.

Резюме

Развивается градиентный метод (наибыстрейшего спуска) в соответствующей топологии для вычисления изолированных собственных значений и собственных векторов самосопряженного, полусвязанного оператора в Гильбертовом пространстве. Приводятся достаточные условия для сходимости последовательных приближений для собственных значений и собственных векторов. Предложенный метод может быть использован для широкого класса операторов Гамильтона и обладает преимуществами по сравнению с теорией возмущений с математической и практической точек зрения.