Critical mass in a relativistic two-body problem

Summary

We use the relativistic 2-body Dirac Hamiltonian with a square-well vector interaction, to investigate how the finite mass of the source of the external field changes the behavior of the bound-state spectrum from that of one Dirac particle in an attractive square well. Limiting ourselves for simplicity to states of total spin zero, we find that, as long as the massm ₂ of the heavier particle is smaller than some critical massm _c, the total energyE of the system does not reach the particle-antiparticle continuum, so that no difficulty of interpretation arises. If, however,m ₂ is greater thanm _c, there exists, as in the one-body Dirac equation, one value of the coupling strengthV _c for whichE reaches the antiparticle continuum. Then, when the coupling strength exceedsV _c, the bound-state level disappears. Furthermore, for some coupling strengthV>V _c, there is a 2-particle bound-state level emerging from the particle-antiparticle continuum, whose total energyE increases until it reaches the particle-particle continuum. This latter result shows that, form ₂>m _c, a 2-body analysis actually further complicates the interpretation of deep bound states in relativistic quantum mechanics.

Riassunto

Si usa un'hamiltoniana di Dirac di due corpi relativistica con un'interazione vettoriale a pozzo quadrato, per scoprire come la massa finita della sorgente del campo esterno cambi il comportamento dello spettro dello stato legato da quello di una particella di Dirac in un pozzo quadrato attrattivo. Limitandoci per semplicità a stati con spin totale nullo, si trova che, finché la massam ₂ della particella più pesante è più piccola di una certa massa criticam _c, l'energia totale del sistemaE non raggiunge il continuo di particella-antiparticella, cosicché non insorge alcuna difficoltà di interpretazione. Ma, sem ₂ è più grande dim _c, esiste, come nell'equazione di Dirac a un corpo, la forza di accoppiamentoV _c per la qualeE raggiunge il continuo di antiparticella. Poi, quando la forza di accoppiamento superaV _c, il livello dello stato legato sparisce. Inoltre, per una certa forzaV>V _c, c'è un livello dello stato legato a 2 particelle che emerge dal continuo di particella-antiparticella, la cui energia totaleE aumenta fino a raggiungere il continuo di particella-particella. Questo ultimo risultato mostra che, perm ₂>m _c, un'analisi a 2 corpi in realtà complica ulteriormente l'interpretazione degli stati iegati profondi nella meccanica quantistica relativistica.

Резюме

Мы используем релятивистский двухчастичный дираковский Гамильтониан с векторным взаимодействием в виде прямоугольной ямы, чтобы исследовать, как внешнее поле с источником конечной массы изменяет поведение спектра связанных состояний по сравнению со случаем одной дираковской частицы в прямоугольной яме притяжения. Ограничиваясь для простоты состояниями с полным спином, равным нулю, мы находим, что пока массаm ₂ более тяжелой частицы меньше, чем критическая массаm _c, то полная энергияE системы не достигает континуума «частиц-античастиц», так что не возникает никаких трудностей при интерпретации. Однако, еслиm ₂ большеm _c, то, как и в случае одночастичного уравнения Дирака, существует значение величины связиV _c, для которогоE достигает континуума античастиц. Следовательно, когда величина связи превышаетV _c, уровень связанного состояния исчезает. Кроме того для некоторой величины связиV>V _c, существует уровень двухчастичного связанного состояния, появляющийся из континуума «частиц-античастиц», причем, полная энергияE увеличивается до тех пор, пока не достигнет континуума «частиц-античастиц». Последний результат показывает, что дляm ₂>m _c двухчастичный анализ существенно усложняет интерпретацию глубоких связанных состояний в релятивистской квантовой механике.