Comments on the Jordan-Brans-Dicke scalar-field theory of gravitation

Summary

The Palatini variational principle is applied to the action integral of the Jordan-Brans-Dicke theory of gravitation. An affinity differing from the Christoffel symbols by an additional third-order tensor is obtained. Field equations with the covariant derivatives and the Ricci tensor defined with respect to this affinity are found. Rewriting these equations using the covariant derivative and the Ricci tensor constructed from the Christoffel symbols yields equations physically equivalent to those of Jordan, Brans and Dicke.

Riassunto

Si applica il principio variazionale di Palatini all’integrale di azione della teoria della gravitazione di Jordan, Brans e Dicke. Si ottiene un’affinità che differisce dai simboli di Christoffel per un ulteriore tensore di terzo ordine. Si trovano equazioni di campo con le derivate covarianti ed il tensore di Ricci definiti rispetto a quest’affinità. Riscrivendo queste equazioni facendo uso della derivata covariante e del tensore di Ricci costruiti dai simboli di Christoffel si ottengono equazioni che sono fisicamente equivalenti a quelle di Jordan, Brans e Dicke.

Резюме

Вариационный принцип Палатини применяется к интегралу действия для теории гравитации Джордана-Бранса-Дикка. Получается сродство, отличное от символов Кристоффеля, благодаря дополнительному тензору третьего порядка. Выводятся уравнения поля с ковариантными производными и тензор Риччи, определенный относительно этого сродства. Переписывая эти уравнения с использованием ковариантной производной и тензора Риччи, сконструированного на основании символов Кристоффеля, получаются уравнения, которые физически эквивалентны уравнениям Джордана-Бранса-Дикка.