Skip to main content
SpringerLink
Log in

Integrating products of displacedSHO wave functions

Интегрирование произведений смещенных волновых функций простого гармонического осциллятора

  • Published:
Il Nuovo Cimento B (1971-1996)

Summary

Integrals of products ofn-dimensional, displaced, simple harmonic-oscillator (SHO) wave functions are evaluated. Each of thep different wave functions may be displaced in both representation and momentum space. Each SHO wave function may be an eigensolution of a different integral or differential equation. These integrals occur in quantum mechanics, coherent optics and nonlinear optics. In addition, the notation and formalism introduced in this work may prove useful in other areas of mathematical physics. We provide a more powerful and versatile alternative to the Einstein summation convention. The coherent-state representation of Glauber is adapted to the discussion of the above integrals.

Riassunto

Si calcolano gli integrali dei prodotti delle funzioni d’onda di oscillatore armonico semplice (SHO) ennedimensionali, spostate. Ciascuna dellep funzioni d’onda diverse può essere spostata sia nello spazio delle rappresentazioni che in quello degli impulsi. Ciascuna funzione d’onda di SHO può essere un’autosoluzione di un diverso integrale o equazione differenziale. Questi integrali intervengono nella meccanica quantistica, nell’ottica delle sorgenti coerenti e nell’ottica non lineare. Inoltre i simboli e il formalismo introdotti in questo lavoro possono rivelarsi utili in altre aree della fisica matematica. Si fornisce una alternativa più potente e versatile alle convenzioni sulle somme di Einstein. Si adatta la rappresentazione degli stati coerenti di Glauber alla discussione dei suddetti integrali.

Резюме

Вычисляются интегралы от произведенийn-мерных смещенных волновых функций простого гармонического осциллятора. Каждая из «ρ» различных волновых функций может быть смещена в координатном и импульсном пространстве. Каждая волновая функция простого гармонического осциллятора может быть собственным решением интегрального или дифференциального уравнения. Рассматриваемые интегралы возникают в квантовой механике, когерентной оптике и нелинейной оптике. Кроме того, предложенный формализм может оказаться полезным в других областях математической физики. Предложенный метод даетболее мощную и гибкую альтернативу эйнщтейновскому обозначению суммирования. Для обсуждения рассматриваемых интегралов интегралов используется представление когерентных состояний Глаубера.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. W. Witschel:Journ. of Phys. B,6, 527 (1973), and references therein.

    Article  ADS  MATH  Google Scholar 

  2. E. Hutchisson:Phys. Rev.,36, 410 (1930).

    Article  ADS  MATH  Google Scholar 

  3. J. A. Arnaud:Journ. Opt. Soc. Amer.,61, 751 (1971).

    Article  ADS  MATH  Google Scholar 

  4. See, for example,E. E. Bergmann:Appl. Opt.,11, 113 (1972).

    Article  ADS  Google Scholar 

  5. E. E. Bergmann andA. Holz:Nuovo Cimento,7 B, 265 (1972).

    Article  ADS  Google Scholar 

  6. See, for example,A. J. McConnell:Applications of Tensor Analysis (New York, N. Y., 1957), p. 3.

  7. An excellent discussion and bibliography on coherent states is given byJ. R. Klauder andE. C. G. Sudarshan:Fundamentals of Quantum Optics, Chap. 7 (New York, N. Y., 1968).

  8. R. J. Glauber:Phys. Rev.,131, 2766 (1963).

    Article  MathSciNet  ADS  Google Scholar 

  9. The definition for the ground-state wave function is identical except for phase to the definition used in ref. (5). above.

    Article  ADS  Google Scholar 

  10. E. Domany:Journ. of Phys. A,5, 241 (1972).

    Article  ADS  Google Scholar 

  11. A. Messiah:Quantum Mechanics, Vol.1, Chap. V (New York, N. Y., 1961).

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Department of Physics, Lehigh University, Bethlehem, Pa.

    E. E. Bergmann

Authors
  1. E. E. Bergmann
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Traduzione a cura della Redazione.

Перевебено ребакцией.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Bergmann, E.E. Integrating products of displacedSHO wave functions. Nuov Cim B 22, 249–260 (1974). https://doi.org/10.1007/BF02726591

Download citation

  • Received:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02726591

Search

Navigation