Foundations of stochastic electrodynamics.

Summary

Stochastic electrodynamics is classical electrodynamics with the hypothesis of a random background radiation in the whole space. The probability distributions of the Fourier components of this electromagnetic radiation are assumed Gaussian. Lorentz invariance fixes the spectrum of the radiation except for a constant, measuring its intensity, which is identified with Planck’s constant. A formalism is developed to deal with general stochastic problems, associating a Hilbert space with every set of random variables. Then, a mapping is defined of the algebra of continuous functions of the random variables onto the algebra of operators on the Hilbert space. A correspondence is found between probability distributions of the random variables and vectors in the Hilbert space. The case of Gaussian random variables is considered in detail. The formalism is applied to the study of the radiation field when some known amount of radiation is present besides the random background. This closely resembles the usual quantization of the free radiation field, although there are significant differences. In particular, not all vectors of the Hilbert space represent physical states in the present theory.

Riassunto

L’elettrodinamica stocastica è l’elettrodinamica classica con l’aggiunta dell’ipotesi di una radiazione di fondo casuale in tutto lo spazio. Si suppone che le distribuzioni di probabilità delle componenti di Fourier di questa radiazione elettromagnetica siano gaussiane. L’invarianza di Lorentz determina lo spettro della radiazione a meno di una costante, che ne misura l’intensità, che si identifica con la costante di Plank. Si sviluppa un procedimento formale per trattare problemi stocastici generali, associando uno spazio di Hilbert a ogni insieme di variabili casuali. Poi si istituisce una mappa dell’algebra delle funzioni continue delle variabili causali sull’algebra degli operatori nello spazio di Hilbert. Si trova una corrispondenza fra le distribuzioni di probabilità ed i vettori nello spazio di Hilbert. Si analizza dettagliatamente il caso di variabili gaussiane. Si applica il procedimento allo studio del campo radiativo quando sia presente una quantità nota di radiazione altre al sottofondo causale. Ciò somiglia strettamente alla quantizzazione solita del campo delle radiazioni libere, benchè ci siano differenze significative. In particolare, in questa teoria non tutti i vettori dello spazio di Hilbert rappresentano stati fisici.

Резюме

Стохастическая электродинамика представляет классическую электродинамику с гипотезой случайного фонового излучения во всем пространстве. Предполагается, что распределения вероятностей для Фуряе-компонент фонового излучения имеют гауссову форму. Лорентц-инвариантность предполагает, что средняя энергия, связанная с каздой степенью свободы, пропорциональна частоте. Развивается общий формализм для рассмотрения систем случайных переменных. Приводится пространство Гильберта, связанное с каждой системой случайных переменных, и выводятся правила для вычисления ожидаемых величин. Предложенный формализм применяется для исследования фонового излучения. Рассматривается нерелятивистское движение заряженных частиц, взаимодействующих с фоновым излучением. Показывается, что эволюция распреденлия вероятности в фазовом пространстве может быть вычислена из уравнения, которое формально эквивалентно уравнению Гайзенберга в квантовой механике. Также указывается, что операторы, связанные с координатами и импульсами частип, удовлетворяют обычиым коммутационным соотнощениям. Обсуждаются различия между предложенной теорией и квантовой механикой. Главное отличие состонт в том, что в предложенной теории (не отрицательное) распределение вероятности в фазовом пространстве может быть связано с каждым состоянием движения. Также показывается, что основное состояние не имеет строго определенную энергию. Обсуждается интерпретация спектроскопических экспериментов, связанных с настоящей теорией.