A stochastic Hamilton-Jacobi theory in stochastic Hamiltonian mechanics for diffusion processes

Summary

A system of a pair of diffusion processesx(t) andp(t) is called a stochastic Hamiltonian dynamical system, if for a given diffusion matrix these processes are determined by stochastic Hamilton’s equations and by the continuity equation. In this paper, a stochastic Hamilton-Jacobi theory is formulated on the model of the Hamilton-Jacobi theory in classical mechanics. In a manner analogous to Nelson’s mechanics, a stochastic Hamiltonian dynamical system having a specific Hamiltonian is connected with a solution of the Schrödinger equation. This connection can provide a complete solution to the stochastic. Hamilton-Jacobi equation which has to be a modification of the original one on account of an excessive potential term. This complete solution then generates a canonical transformation. Examples are given for a free particle and for the harmonic oscillator.

Riassunto

Un sistema a una coppia di processi di diffusionex(t) ep(t) si chiama sistema dinamico stocastico hamiltoniano, se per una data matrice di diffusione si determinano questi processi mediante le equazioni stocastiche di Hamilton e l’equazione di continuità. In questo lavoro, si formula una teoria stocastica di Hamilton-Jacobi sul modello della teoria di Hamilton-Jacobi in mecanica classica. In maniera analoga alla meccacanica di Nelson, si connette un sistema dinamico stocastico hamiltoniano che ha un’hamiltoniana specifica a una soluzione dell’equazione di Schrödinger. Questa connessione può fornire una soluzione completa all’equazione stocastica di Hamilton-Jacobi che deve essere una modificazione di quella originale a causa di un termine di potenziale eccessivo. Questa soluzione completa genera poi una trasformazione canonica. Si forniscono esempi per una particella libera e per l’oscillatore arnonico.