A stochastic approach to the electron avalanche problem

Summary

A probability balance equation is formulated, based upon the regeneration point method, for the number of electrons at timet, positionz in an avalanche initiated by a trigger electron. The result is given in the form of a nonlinear integral equation for the probability-generating function. From this equation we can obtain equations for the mean value, which has been studied by many authors, and also the mean square value and higher moments. In the special case of 1/v absorption, scattering and ionization cross-sections, a complete expression for the probability is obtained in the infinite-medium, time-dependent case. The spatial development of the avalanche is studied and, by using some results obtained recent by Boffiet al., we can obtain a concise expression for Townsend’s coefficient.

Riassunto

Si formula un’equazione di equilibrio della probabilità, basata sul metodo del punto di rigenerazione, per il numero di elettroni al tempot e posizionez in una valanga iniziata da un elettrone d’innesco. Il risultato è dato nella forma di un’equazione integrale non lineare per la funzione generatrice della probabilità. Da questa equazione si possono ottenere equazioni per il valore medio, che è stato studiato da molti autori, ed anche il valore quadratico medio e momenti più alti. Nel caso speciale dell’assorbimento 1/v, scattering e sezioni d’urto di ionizzazione, si ottiene un’espressione completa per la legge di probabilità nel caso di mezzo infinito e dipendente dal tempo. Si studia lo sviluppo spaziale della valanga e per mezzo di alcuni risultati ottenuti recentemente da Boffiet al. si può ottenere un’espressione concisa per il coefficiente di Townsend.

Резюме

Формулируется вероятностное уравнение баланса, основанное на методе точек регенерации, для числа электронов в момент времениt, в точкеz в лавине, инициированной триггерным электроном. Результат записывается в виде нелинейного интегрального уравнения для вероятностной функции рождения. Из этого уравнения мы можем получить уравнения для средней величины, которая была исследована многими авторами, а также для величины среднего квадрата и высших моментов. В бесконечной среде, в зависящем от времени случае выводится замкнутое выражение для вероятностного закона. Исследуется пространственное развитие лавины. Используя некоторые результаты, полученные недавно Боффи и др., мы можем получить компактное выражение для коэффициента Таунсенда.