Representation of the gravitational and electromagnetic fields by a tensor of mixed symmetry

Summary

The gravitational and electromagnetic interactions of a charged spinless test body and a massive charged source can be jointly described by a set of complex tetrad fields or the mixed-tensor field arising from them. The symmetric part of this mixed tensor must obey Einstein’s field equations, provided that the conserved current density of these tetrad fields is proportional to the Lorentz four-potential. The four-potential can be expressed in various ways in terms of the antisymmetric part of the mixed tensor, a convenient way being

, and the Klein-Gordon equation describing the test body’s motion in these combined fields can be expressed entirely in terms of the mixed tensor.

Riassunto

Si possono descrivere insieme le interazioni gravitazionali ed elettromagnetiche di un corpo esplorativo carico privo di spin e di una sorgente carica dotata di massa con un sistema di quattro campi tetradici complessi o con il campo tensoriale misto da essi derivante. La parte simmetrica di questo tensore misto deve soddisfare le equazioni di campo di Einstein, dato che la densità di corrente conservata di questi quattro campi tetradici è proporzionale al quadripotenziale di Lorentz. Si può esprimere il quadripotenziale in vari modi in funzione della parte antisimmetrica del tensore misto. Una buona maniera è

. Si può esprimere l’equazione di Klein-Gordon che descrive interamente il moto del corpo esplorativo in questi campi combinati per mezzo del tensore misto.

Резюме

Гравитационное и электромагнитное взаимодействия заряженного бесспинового пробного тела и массивного заряженного источника могут быть совместно описаны с помощью системы комплексных тетраидных полей или смешанного тензорного поля, возникающего из них. Симметричная часть этого смешанного тензора должна удовлетворять полевым уравнениям Эйнштейна, при условии, что сохраняющаяся плотность тока этих тетраидных полей пропорциональна четырехпотенциалу Лорентца. Четырех-потенциал может быть выражен разными способами через антисимметричную часть смешанного тензора, причем, четырех-потенциал удобно представить

, и уравнение Клейна-Гордона, описывающее движение пробного тела в этих обьединенных полях, может быть выражено полностью через этот смешанный тензор.