The scalar field and Weyl geometry

Summary

Following Bergmann the internal consistency of Weyl geometry is examined. It is concluded, because of the requirement of Weyl gauge invariance, that a consistent macroscopic application of Weyl geometry is not possible. At the particle level a first-order action is constructed that combines Weyl geometry with the scalar field. Under the assumption that this action describes a closed system, the Weyl vector ψ_α is equated with the dynamical variable ϕ_α of the scalar field. In addition to constraint equations, the Einstein equation is also derived. This equation can be reformulated in a Riemannian-equivalent form with a different stress tensor. The requirement that the corresponding stress tensors must satisfy the Bianchi identities in their respective spaces leads to a Weyl gauge condition. In the Weyl picture the field variable ϕ has the geometrical interpretation of defining the relative unit of length at each point of the Weyl space. A direct implication of a Weyl particle geometry is that the rest mass of a probe scattering particle will be position dependent inside the target (scalar) particle. We find thatm ¹(x ^μ)=m ²₀ /(1+(B/A)ϕ)^2/3, whereB, A are constants and ϕ is the scalar-field value atx ^μ.

Riassunto

Seguendo Bergmann si esamina la coerenza interna della geometria di Weyl. Si conclude, a causa della condizione di invarianza di gauge di Weyl, che un’applicazione macroscopica coerente della geometria di Weyl non è possibile. Allivello di particella si costruisce un’azione di primo ordine che combina la geometria di Weyl con il campo scalare. Nell’ipotesi che questa azione descriva un sistema chiuso, si eguaglia il vettore ψ_α di Weyl alla variabile dinamica ϕ_α del campo scalare. Oltre alle equazioni di restrizione, si deduce anche l’equazione di Einstein. Si può riformulare questa equazione in una forma riemaniana equivalente con un tensore di sforzo diverso. La condizione che i tensori di sforzo corrispondenti debbano soddisfare le identità di Bianchi nei loro spazi rispettivi porta ad una condizione di gauge di Weyl. Nella rappresentazione di Weyl la variabile di campo ϕ ha come interpretazione geometrica la definizione dell’unità relativa di lunghezza in ciascun punto dello spazio di Weyl. Un’implicazione diretta della geometria di Weyl delle particelle è che la massa in quiete di una particella di prova in diffusione dipenderà dalla posizione entro la particella (scalare) bersaglio. Si trova chem ¹(x ^μ)=m ²₀ /(1+(B/A)ϕ)^2/3, in cuiB edA sono costanti e ϕ è il valore del campo scalare ax ^μ.

Резюме

Следуя Бергману, иссяедуется внутренняя непротиворечивость геометрии Вейля. Утверждается, что непротиворечивое макроскопическое применение геометрии Вейля оказывается невозможным вследствие требования калибровочной инвариантности. На частичном уровне конструируется действие первого порядка, которое обьединяет геометрию Вейля со скалярным полем. Предполагая, что это действие описывает замкнутую систему, вектор Вейля ϕ_α приравнивается динамической переменной ψ_α скалярного поля. Помимо уравнений связей, также выводится уравнение Эйнштейна. Это уравнение может быть заново сформулировано в эквивалентной форме с другим тензором напряжений. Требование, что соответствующие тензоры напряжений должны удовлетворять тождествам Бьянки в соответствующих пространстранствах, приводит к условию калибровки Вейля. В картине Вейля переменная поля ϕ имеет геометрическую интерпретацию определения относительной единицы длины в каждой точке пространства Вейля. Непосредственное следствие геометрии Вейля состоит в том, что масса покоя пробной рассеиваемой частицы зависит от положения внутри (скалярной) частицы мишени. Мы находим, чтоm ¹(x ^μ)=m ²₀ /(1+(B/A)ϕ)^2/3 гдеB, A являются постоянными и ф есть значение скалярного поля приx ^μ.