Quantum-mechanical solution for the simple harmonic oscillator in a box

Summary

The quantum-mechanical problem of the simple harmonic oscillator confined into a box has been solved. The probability amplitudes are parabolic cylinder functions. The energy levels are established by a numerical procedure as the roots of a polynomial. These are given in tabular form. Interestingly, once the box size shrinks below a critical level, the energy levels radically increase from their unboxed values. This critical length is the effective oscillation length for an unboxed oscillator of lowest energy.

Riassunto

Si è risolto il problema di meccanica quantistica dell’oscillatore armonico confinato in uno spazio limitato. Le ampiezze di probabilità sono funzioni cilindriche paraboliche. I livelli dell’energia sono valutati con un procedimento numerico come radici di un polinomio e riportati in forma di tabella. Si è trovato che, appena la dimensione dello spazio scende al di sotto di un valore critico, i livelli dell’energia aumentano rispetto a quelli dell’oscillatore libero. Questa lunghezza critica è l’ampiezza dell’oscillatore libero nello stato di energia più basso.

Резюме

Рещается квантовомеханическая проблема простого гармонического осциллятора, помещенного в ящик. Амплитуда вероятности описывается функциями параболического цилиндра. Исполызуя численные методы, устанавливаются уровни энергии, как корни полинома. Уровни энергии табулируются. Если размер ящика уменьшается ниже критического уровня, то уровни энергии существенно увеличиваются по сравнению с их величинами для осциллятора вне яшика. Эта критическая длина представляет эффективную длину осцилляции для осциллятора с наименьшеи энергией, находящегося вне ящика.