On the conventional and modified WKB approximation with a singular potential

Summary

In the first part of this paper an analytical expression in term of the quantum numberl of the conventional WKB phase shift for singular potentials (i.e. V(r)=A _nr⁻ⁿ,n≥3) is derived. It is shown that the asymptotic form of this expression for high values ofl as well as for low energies agrees with well-known results. In the second part the modified WKB approach is discussed to the «zero» and «first» order approximation where the connection between the conventional and the modified approaches is underlined. A general expression of the modified phase shift is obtained. It is also shown that, in the case of low energies, its asymptotic form agrees well with results obtained by other authors.

Riassunto

Nella prima parte di questo articolo si deduce un’espressione analitica dello spostamento di fase di WKB convenzionale per potenziali singolari (cioèV(r)=A _nr⁻ⁿ, n≥3) in termini del numero quanticol. Si mostra che la forma asintotica di questa espressione per grandi valori dil ed anche alle basse energie concorda con risultati ben noti. Nella seconda parte si discute l’approccio di WKB modificato nell’approssimazione di ordine «zero» e «primo», ed ivi si sottolinea la connessione tra l’approccio convenzionale e quello modificato. Si ottiene un’espressione generale per lo spostamento di fase modificato. Si mostra anche che, nel caso di basse energie, la forma asintotica di questa espressione concorda bene con i risultati ottenuti da altri autori.

Резюме

В первой части выводится аналитическое выражение в терминах квантового числаl для стандартного ВКБ приближения для фазового сдвига в случае сингулярных потенциалов (видаV(r)=A _nr⁻ⁿ, n≥3). Показывается, что асимптотическая форма этого выражения для больших значенийl, а также для малых энергий согласуется с хорошо известными результатами. Во второй части обсуждается модифицированный ВКБ подход для приближений «нулевого» и «первого» порядков. Отмечается связь между стандартным и модифицированным подходами. Получается общее выражение модифицированного фазового сдвига. Также показывается, что в случае малых энергий асимптотическая форма модифицированного приближения согласуется с результатами, полученными другими авторами.