Skip to main content
SpringerLink
Log in

The group ring of the dynamical invariance group of the hydrogen atom.—II

Групповое кольцо динамической инвариантной группы атом водорода.-II

  • Published:
Il Nuovo Cimento B (1971-1996)

Summary

A method of construction of irreducible tensor operators with respect toSU 2⊗SU 2 is discussed. This method permits the unique decomposition of an arbitrary operator into corresponding irreducible tensor operators. It also allows one to derive selection rules if the operator is an irreducible tensor operator with respect to the subgroupSU 2×SU 2≃SU 2. A basis of the operator space ℒ(ℋ’) consisting of irreducible tensor operators with respect toSU 2⊗SU 2 permits a unique alternative decomposition of every operator. This tensor basis (Wigner operators) has the essential property that its elements are uniquely labelled only by parameters needed for the determination of the unitary irreducible representations ofSU 2⊗SU 2. This basis not only suggests certain approximations but also is useful for the definition of new operators (creation and destruction operators).

Riassunto

Si discute un metodo per costruire operatori tensoriali non riducibili rispetto adSU 2◯SU 2. Con questo metodo si ottiene l’unica scomposizione di un operatore arbitrario nei corrispondenti operatori tensoriali non riducibili. Per mezzo di esso si possono anche dedurre regole di selezione se l’operatore è un operatore tensoriale non riducibile rispetto al sottogrouppoSU 2×SU 2≅SU 2. Una base dello spazio degli operatori ℒ(ℋ’) che consiste di operatori tensoriali non riducibili rispetto adSU 2◯SU 2 consente un’unica scomposizione alternativa di ciascun operatore. Questa base tensoriale (operatori di Wigner) ha la proprietà essenziale che i suoi elementi sono unicamente contraddistinti dai parametri necessari per la determinazione della rappresentazione unitaria non riducibile diSU 2◯SU 2. Questa base non solo suggerisce alcune approssimazioni, ma è anche utile per la definizione di nuovi operatori (operatori di creazione e distruzione).

Резюме

Обсуждается метод конструирования неприводимых тензорных операторов по отношению кSU 2◯SU 2. Этот метод допускает единственное разложение произвольного оператора на соответствующие неприводимые тензорные операторы. Этот метод также позволяет получить правияа отбора, если рассматриваемый оператор является неприводимым тензорным оператором по отношению к подгруппеSU 2×SU 2≅SU 2. Базис операторного пространства ℒ(ℋ’), состоящий из неприводимых тензорных операторов по отношению кSU 2◯SU 2, допускает единственное альтернативное разложение любого оператора. Этот тензорный базис (операторы Вигнера) имеет существенное свойство, что его элементы однозначно характеризуются только параметрами, необходимыми для определения унитарных неприводимых представленииSU 2◯SU 2. Этот базис не только подсказывает некоторые приближения, но явияется также удобным для определения новых операторов (операторов пождения и уничтожения).

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. E. P. Wigner:Group Theory and Its Applications to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra (New York, N. Y., 1959).

  2. J. S. Lomont:Applications of Finite Groups (New York, N. Y., 1959).

  3. L. C. Biedenharn:Group theoretical approaches to nuclear spectroscopy, inW. E. Brittin, B. W. Downs andJ. Downs:Lectures in Theoretical Physics (New York, N. Y., 1963).

  4. L. C. Biedenharn:Phys. Lett.,3, 69 (1963).

    Article  MathSciNet  ADS  Google Scholar 

  5. L. C. Biedenharn:On Racah coefficients as coupling coefficients for the vector space of Wigner operators, inF. Bloch et al.: Spectroscopic and Group Theoretical Methods in Physics (Amsterdam, 1968).

  6. J. D. Louck andL. C. Biedenharn:Journ. Math. Phys.,11, 2368 (1970).

    Article  MathSciNet  ADS  Google Scholar 

  7. J. D. Louck andL. C. Biedenhaen:Journ. Math. Phys.,12, 173 (1971).

    Article  ADS  Google Scholar 

  8. L. C. Biedenharn, J. D. Louck, E. Chacon andM. Ciftan:Journ. Math. Phys.,13, 1957 (1972).

    Article  MathSciNet  ADS  MATH  Google Scholar 

  9. L. C. Biedenharn andJ. D. Louck:Journ. Math. Phys.,13, 1985 (1972).

    Article  MathSciNet  ADS  MATH  Google Scholar 

  10. L. C. Biedenharn andJ. D. Louck:Journ. Math. Phys.,14, 1336 (1973).

    Article  MathSciNet  ADS  Google Scholar 

  11. P. Kasperkovitz andR. Dirl:Irreducible tensorial sets within the group algebra of a compact group (to appear inJourn. Math. Phys.).

  12. A. J. van Zanten andE. De-Vries:Journ. Math. Phys.,14, 1423 (1973).

    Article  ADS  Google Scholar 

  13. R. Dirl:Nuovo Cimento,23 B, 417 (1974).

    Article  MathSciNet  ADS  Google Scholar 

  14. R. Dirl andG. Angerer:Nuovo Cimento,13 A, 1065 (1973).

    Article  ADS  Google Scholar 

  15. W. H. Stevens:Proc. Phys. Soc.,65 A, 209 (1952).

    Article  ADS  Google Scholar 

  16. B. R. Judd:Operator Techniques in Atomic Spectroscopy (New York, N. Y., 1963).

  17. A. O. Barut andH. Kleinert:Phys. Rev.,156, 1546 (1967).

    Article  ADS  Google Scholar 

  18. H. Kleinert:Fortschr. Phys.,16, 1 (1968).

    Article  MATH  Google Scholar 

  19. R. Hermann:Lie Groups for Physicists (New York, N. Y., 1966).

  20. S. Helgason:Differential Geometry and Symmetric Spaces (New York, N. Y., 1962).

  21. J. Schwinger:On angular momentum, inL. C. Biedenharn andH. van Dam:Quantum Theory of Angular Momentum (New York, N. Y., 1965).

  22. G. Racah:Group theory and spectroscopy, inG. Hohler:Springer Tracts in Modern Physics, Vol.37 (Berlin, 1965), p. 28.

  23. A. J. Coleman:Induced and subduced representations, inM. Loebl:Group Theory and Its Applications, Vol.1 (New York, N. Y., 1968).

  24. M. Hamermesh:Group Theory and Its Applications to Physical Problems (Reading, Mass., 1964).

  25. S. Pasternak andR. M. Sternheimer:Journ. Math. Phys.,3, 1280 (1962).

    Article  ADS  Google Scholar 

  26. M. E. Rose:Elementary Theory of Angular Momentum (New York, N. Y., 1957).

  27. F. D. Murnaghan:The Unitary and Rotation Groups (Washington, D. C., 1962).

  28. G. Flamand:Journ. Math. Phys.,7, 1924 (1966).

    Article  ADS  Google Scholar 

  29. C. E. Wulfman:Dynamical groups in atomic and molecular physics, inM. Loebl:Group Theory and Its Applications, vol.2 (New York, N. Y., 1971).

  30. E. Madelung:Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers (Berlin, 1964).

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. I. Institut für Theoretische Physik der Technischen Hochschule Wien, Wien

    R. Dirl

Authors
  1. R. Dirl
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Traduzione a cura della Redazione.

переведено редакцией.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Dirl, R. The group ring of the dynamical invariance group of the hydrogen atom.—II. Nuovo Cim B 23, 441–472 (1974). https://doi.org/10.1007/BF02723649

Download citation

  • Received:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02723649

Search

Navigation