Canonical co-ordinates and Hamiltonian framework for the relativistic two spinning particles and three-body systems

Summary

Starting from the natural symplectic structures determined by the Weyl group for the single massive spinning particle, we build the composed system of two spinning particles. The groupal analysis allows us to determine the centre-of-mass co-ordinates, to which we add a set of complementary ones in such a way as to get collective and relative canonical variables of momentum and position. Exploiting these results we are able to introduce an analogous description of the phase-space of the scalar three-body. The equations of motion are obtained by means of the full foliation on the state equations and we are able to get them in a purely Hamiltonian scheme on the reduced physical phase-space. For the three-body we get three first-class constraints with two independent potentials; however, the Hamiltonian scheme suggests a more flexible method for introducing interactions. We remark that the direct canonical quantization, allowed by the Hamiltonian framework, gives rise, in the two-scalar-particle case with the Coulomb potential, to a Lamb shift term and with the rising linear potential to very good results about the mesons properties. Indeed, we find a wave equation formally coinciding with the one obtained and studied in the domain of the anisotropic chromodynamics.

Riassunto

Partendo dalle strutture naturali simplettiche per la particella massiva con spin determinate dal gruppo di Weyl, costruiamo il sistema meccanico di due particelle con spin. L’analisi gruppale ci consente di determinare le coordinate del centro di massa alle quali si aggiunge un insieme di coordinate ad esse complementari in modo tale da ottenere le variabili canoniche collettive e relative di momento e di posizione. Sfruttando questi risultati siamo in grado di introdurre una descrizione analoga dello spazio delle fasi di tre punti scalari relativistici. Le equazioni di moto sono ottenute per mezzo della foliazione nulla sulle equazioni di stato e siamo capaci di ricondurle in uno schema puramente hamiltoniano sullo spazio delle fasi fisico ridotto. Per i tre corpi ricaviamo tre vincoli di prima classe con due potenziali indipendenti, tuttavia la formulazione hamiltoniana suggerisce un metodo meno rigido per introdurre le interazioni. La quantizzazione canonica, permessa dallo schema hamiltoniano e da noi utilizzata, dà origine nel caso di due particelle scalari interagenti in modo coulombiano a un termine di spostamento del tipo di Lambe, nel caso di potenziale linearmente crescente, a risultati molto buoni per quanto riguarda lo spettro dei mesoni. In effetti si trova un’equazione d’onda che coincide formalmente con quella ottenuta e studiata in cromodinamica anisotropa.

Резюме

Исходя из естественных симплексных структур, определенных посредством группы Вейля для синглетной массивной спиновой частицы мы строим составную систему двух спиновых частиц. Групповой анализ позволяет нам определить координаты центра масс, к которым мы добавляем систему дополнительных координат, чтобы получить коллективные и относительные канонические переменные для импульса и положения. Используя эти результаты, мы можем ввести аналогичное описание фазового пространства для трех скалярных релятивистских частиц. Получаются уравнения движения с помощью нулевого расслоения в уравнениях состояния и мы можем получить их в чисто Гамильтоновой схеме на приведенном физическом фазовом пространстве. Для трех частиц мы получаем три ограничения первого класса с двумя независимыми потенциалами, однако Гамильтонова схема предполагает более универсальный метод введения взаимодействий. Мы отмечаем, что прямое каноническое квантование в рамках Гамильтоновой схемы приводит в случае двух скалярных частиц с кулоновским потенциалом к лэмбовскому сдвигу, а в случае линейно возрастающего потенциала к очень хорошим результатам для свойств мезонов. Мы получаем волновое уравнение, формально совпадающее с уравнением, полученным и исследованным в анизотропной хромодинамике.