New realization of the loop algebras and their indecomposable modules

Summary

A new realization of the loop algebra Ĝ (untwisted affine Kac-Moody algebra) is given on the enveloping field$\bar \Omega$ of the Bose algebraK. By making use of this new realization nontrivial infinite-dimensional indecomposable representations and finite-dimensional representations ofĜ are constructed on$\bar \Omega$ and its quotient spaces. Finally, as an explicit example, the loop algebra$\widehat{SU}(2)$ associated with Lie algebraSU(2) is discussed in detail.

Riassunto

Si dà una nuova realizzazione dell’algebra ad ansaĜ (algebra di Kac-Moody affine non intrecciata) sul campo inviluppante$\bar \Omega$ dell’algebra di BoseK. Usando questa nuova realizzazione si elaborano rappresentazioni non scomponibili a dimensioni infinite non triviali e rappresentazioni a dimensioni finite diĜ su$\bar \Omega$ e i suoi spazi quozienti. Infine si discute in dettaglio, come esempio esplicito, l’algebra ad ans$\widehat{SU}(2)$ associata all’algebra di LieSU(2).

Резюме

Предлагается новая реализация алгебры петельĜ (раскрученная аффинная алгебра Как-Муди) на огибающем поле$\bar \Omega$ алгебры Бозе κ. Используя эту новую реализацию, конструируются нетривиальные бесконечномерные неприводимые представления и конечномерные представленияĜ на$\bar \Omega$ иих частные пространства. В заключение, подробно обсуъдается пример алгебры петель$\widehat{SU}(2)$, связанной с алгеброй ЛиSU(2).