Remarks on some nonunitary representations of the Poincaré group

Summary

We analyse a class of reducible but indecomposable representations of the Poincaré group, characterized by real masses and momenta. The nonunitary character of these representations is reflected in the fact that the momentum eigenvectors no longer form a generalized basis for the representation space. A formalism is set up, which, through the introduction of a basis consisting of eigenvectors and eigenghosts of the momentum operators, allows us to analyse and discuss these representations in a way very close to the standard. We then apply this formalism to the discussion of field theories defined by weak equations of motion of the form (□+m ²)ⁿ,m ₂⩾0,n⩾1, and obtain the most general bilinear forms (commutators, two-point functions, etc.) consistent with the representation. Some peculiarities of the zero-mass case are also exhibited.

Riassunto

In questo lavoro si analizza una classe di rappresentazioni del gruppo di Poincaré riducibili ma non decomponibili (e quindi non unitarie), caratterizzate da masse ed impulsi reali. Per queste rappresentazioni, in generale, gli autovettori del quadri-impulso non costituiscono più una base (generalizzata) dello spazio di rappresentazione. Per poterle trattare in una maniera simile a quella standard, si generalizza allora il concetto di autovettore e si giunge alla nozione di autofantasma. Questo formalismo viene applicato poi allo studio di due esempi di teorie di campo definite da equazioni di moto della forma (□+m ²)ⁿ,n⩾1,m ²⩾0. Si rendono esplicite le più generali forme bilineari (commutatori, funzioni a due punti, ...) compatibili con la rappresentazione e si puntualizzano, infine, alcune difficoltà connesse con la massa nulla.

Реэюме

Мы аналиэируем класс приводимых, но нераэложимых представлений группы Пуанкаре, характериэуемых вешественными массами и импульсами. Неуни-тарный характер зтих представлений отражает тот факт, что собственные векторы импуьса больще не обраэуют обобшенный баэис для пространства представлений. Раэвивается формалиэм, который, посредством введения баэиса, состояшего иэ собственных векторов и собственных « духов » операторов моментов, поэволяет нам проаналиэировать и обсудить зти представления в иэвестном смысле, блиэком к стандартному. Затем мы применяем зтот формалиэм для обсуждения теорий поля, определяемых слабыми уравнениями движения вида (□+m ²)ⁿ,m ²⩾0,n⩾1, и получаем наиболее обшие билинейные формы (коммутаторы, двух-точечные функции и т.д.), соответствуюшие зтому представлению. Также отмечаются неко-торые особенности для случая нулевой массы.