Gel’fand-Yaglom equations with charge or energy density of definite sign

Summary

We consider finite-dimensional Gel’fand-Yaglom equations with the supplementary requirement that for half-odd spin the charge density and for integer spin the energy density be positive definite. We derive, in general, a necessary condition to satisfy this requirement, in terms of a restriction on the structure of the Gel’fand chains. For equations with unique mass and spin this necessary condition is shown to be also sufficient. Connections with previous works on relativistic wave equations are discussed.

Riassunto

Si considerano equazioni finito-dimensionali di Gel’fand-Yaglom con l’ulteriore richiesta che sia definita positiva la densità di carica per spin semidispari e la densità di energia per spin intero. È data, in generale, una condizione necessaria per soddisfare tale richiesta, sotto forma di restrizioni sulla struttura delle catene di Gel’fand. Per equazioni a massa e spin unico si mostra che la condizione necessaria risulta essere anche sufficiente. Si esaminano infine le connessioni con precedenti lavori sulle equazioni relativistiche.

Реэюме

Мы рассматриваем конечно-мерные уравнения Гельфанда-Яглома с дополнительным требованием, чтобы для полуцелого спина плотность эаряда, а для целого спина плотность знергии были бы положительно определенными. В обшем случае, в терминах ограничения на структуру цепей Гельфанда мы выводим необходимое условие, чтобы удовлетворить зтому требованию. Покаэывается, что для уравнений с единичной массой и спином зто необходимое условие также является достаточным. Обсуждается вэаимосвяэь с предыдушими работами, касаюшимися релятивистских волновых уравнений.