The pulsating harmonic oscillator

Summary

The model of a harmonic oscillator of natural frequency ω₀ under the joint action of a periodic driving force of frequency λ and pulsation in mass of frequency ν is considered as a classical or quantized system. Dirac variables are utilized to solve the equations of motion to first and second order in the strength of the mass pulsation and a simple procedure is indicated for extension to any order. The solution contains secular terms and shows resonance behaviour at ν = 2ω₀, λ = ω₀ or λ = 3 ω₀. The fluctuation in energy of the system is examined. At resonance the rotating-wave approximation is shown to furnish an asymptotic solution of the equations of motion for large values of the time. In the same approximation the Green’s function is calculated and the Schrödinger equation is solved.

Riassunto

Il modello di un oscillatore armonico di frequenza naturale ω₀ sotto l’azione congiunta di una forza guida periodica di frequenza λ e pulsazione in massa di frequenza ν è considerato come un sistema classico o quantizzato. Le variabili di Dirac sono utilizzate per risolvere le equazioni di moto di primo e second’ordine nella forza della pulsazione di massa e si indica una semplice procedura per l’estensione ad ogni ordine. La soluzione contiene termini secolari e mostra un comportamento di risonanza a ν = 2ω₀, λ = ω₀ o λ = 3 ω₀. Si esamina la fluttuazione di energia del sistema. Si mostra che in risonanza l’approssimazione dell’onda rotante fornisce una soluzione asintotica delle equazioni di moto per grandi valori di tempo. Nella stessa approssimazione la funzione di Green è calcolata e l’equazione di Schrödinger è risolta.