On the theory of certain nonlinear Schrödinger equations with nonlocal interaction

Summary

We study nonlinear equations of the form $i\frac{{\partial \Phi (x,t)}}{{\partial t}} + \Delta \Phi (x,t) + \Phi (x,t)\int | \Phi (y,t)|^2 K(x - y)dy = 0$ (x∈R ³ t∈R ₊), as they occur in Hartree-type theories with nonlocal interactions. Various problems such as the existence of bound states associated with standing wave solutions, asymptotic time decay in suitable norms and the stability of certain solutions are discussed. As a working example, a model theory of gravitating particles in quantum theory (first proposed by the author in 1968) is re-examined.

Riassunto

Si studiano equazioni non lineari della forma {fx277-1} (x∈R ³,t∈R ₊), come sono nelle teorie del tipo di Hartree con interazioni non locali. Si discutono vari problemi come l’esistenza di stati legati associati con soluzioni per onde stazionarie, decadimento del tempo asintotico in norme appropriate e la stabilità di certe soluzioni. Come esempio di lavoro, si riesamina una teoria modello di particelle gravitanti nella teoria quantica (proposta per la prima volta dall’autore nel 1968).

Резюме

Мы исследуем нелинейные уравнения вида {fx278-1} (x∈R ³,t∈R ⁺), которые возникают в теориях типа Харти с нелокальными взаимодействиями. Обсуждаются различные проблемы, связанные с решениями исследуемых уравнений. Заново рассматривается пример—модельная теория гравитирующих частиц в квантовой теории.