Global bifurcation structure of a four-dimensional dissipative dynamical system

Summary

We have studied numerically a dissipative dynamical system described by a set of four first-order, nonlinear, ordinary differential equations depending on a parameterR; the parameter range considered goes from zero to about one thousand. In the phenomenology which emerges a central role is played by a basic periodic orbit, Ω; this orbit borne at very lowR, survives up to the largest values of the parameter and undergoes various types of bifurcations leading to symmetry-breaking, period-doubling, quasi-periodic behaviour etc. Other attractors are also found, but all of them have a limited lifetime.

Riassunto

È stato studiato numericamente un sistema dinamico dissipativo descritto da un sistema di quattro equazioni differenziali ordinarie non lineari dipendenti dal parametroR. Nella fenomenologia osservata un ruolo centrale è svolto da un’orbita periodica fondamentale, Ω, che nasce per un valore del parametro molto piccolo e sopravvive fino ai valori estremi diR (circa 1000). Essa subisce vari tipi di biforcazione con rottura di simmetria, raddoppio di periodo, generazione di moti quasi periodici, ecc. Sono discussi anche altri attrattori, ma tutti con un intervallo di esistenza inR limitato.

Резюме

Мы численно исследуем диссипативную динамическую систему, описываемую системой четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые зависят от параметраR, причем рассматриваемый параметр изменяется от нуля до тысячи. В феноменолотии центральную роль итрает основная периодическая орбита, Ω. Эта орбита, появляющаяся при очень малыхR, сохраняется вплоть до самых больших значений параметраR и претерлевает различного тица бифуркации, приводящие к нарушению симметрии, удвоению периода, квази-периодическому поведению и т.д. Также возникают другие явления, но все они имеют ограниченоое время жизни.