On stochastic Hamiltonian mechanics for diffusion processes

Summary

In a close investigation into Nelson’s stochastic mechanics, a stochastic Hamiltonian mechanics for diffusion processes is formulated. The key point is the observation that the equation of motion in Nelson’s mechanics can be put into a stochastic Hamilton-Jacobi equation and hence stochastic Hamilton’s equations result with a suitably defined Hamiltonian function. The system of the diffusion processx(t) and the momentum processp(t) is called a Hamiltonian dynamical system, if for a given diffusion matrix these processes are determined by stochastic Hamilton’s equations and the continuity equation. In the present Hamiltonian mechanics, canonical transformations are formulated with a method analogous to that in classical mechanics. Particularly, inhomogeneous linear canonical trasformations are discussed in connection with the Fourier transform in quantum mechanics. An example is given of the canonical transformations for a free fall.

Riassunto

In una ricerca approfondita sulla meccanica stocastica di Nelson, si formula una meccanica hamiltoniana stocastica per processi di diffusione. Il punto chiave è l’osservazione che l’equazione di moto nella meccanica di Nelson può essere inserita in una equazione stocastica di Hamilton-Jacobi e quindi le equazioni stocastiche di Hamilton risultano con una funzione, hamiltoniana opportunamente definita. Il sistema del processo di diffusionex(t) e del processo dell’impulsop(t) è chiamato sistema dinamico hamiltoniano se per una certa matrice di diffusione questi processi sono determinati dalle equazioni stocastiche di Hamilton e dall’equazione di continuità. Nell’attuale meccanica hamiltoniana, si formulano trasformazioni, canoniche con un metodo analogo a quello nella meccanica classica. In particolare, trasformazioni canoniche lineari sono discusse in relazione con la trasformata di Fourier nella meccanica quantistica. Un esempio è dato per le trasformazioni canoniche per una caduta libera.

Резюме

В рамках стохастической механики Нельсона формулируется стохастическая гамилятонова механика для процесса диффузии. Отмечается что уравнение движения в механике Нельсона может быть вставлено в стохастическое уравнение Гамильтона-Якоьи и, следовательно, стохастические гамильтоновы уравнения дают соответствуущую функцию Гамилътона. Система координат процесса диффузииx(t) и распеределения импульсовp(t) называется гамильтоновою динамической системой, если для заданной матрицы диффузии эти процессы определяются стохастичеслими гамильтоновыми уравнениями и уравнениями непрерывности. В предложенной гамильтоновой механике формулируются канонические преобразования по а↭алогии с методами классической механики. В частности, обсуждаются неоднородные линейные канонические преобразования в связи с Фурье-преобразованиями в квантовой механике. Рассматривается пример канонических преобразований для свободного падения.