On the Hamilton-Jacobi theory with derivatives of higher order

Summary

The Hamilton-Jacobi theory is extended to include the case of Lagrangians involving higher-order time derivatives of the degrees of freedom. In particular, Jacobi’s theorem is generalized and proved in this case. By way of application, the Hamilton-Jacobi equation for a particle constrained to turn about a translating centre is set and solved, starting from an associated Lagrangian containing the second-order time derivatives of the particle position co-ordinates.

Riassunto

La teoria di Hamilton-Jacobi è estesa a includere il caso di lagrangiane che coinvolgono derivate di tempo di ordine piú alto dei gradi di libertà. In particolare, il teorema di Jacobi è generalizzato e provato in questo caso. Mediante l’applicazione, si stabilisce e risolve l’equazione di Hamilton-Jacobi per una particella costretta a girare intorno ad un centro di traslazione, a partire da una Lagrangiana associata che contiene derivate di tempo di second’ordine delle coordinate di posizione della particella.

Резюме

Обобшается теория Гамильтона-Якоби, чтобы включить случай Лагранжианов с высшими временными производными степеней свободы. В частности, обобщается теорема Якоби и предлагается доказательство этой теоремы в рассматриваемом случае. Как пример, выводится и решается уравнение Гамильтона-Якоби для ограниченной частицы, исходя из соответствующего Лагранжиана, содержащего производные второго порядка по времени для координат положения частицы.