The small-amplitude limit of the spectral transform for the periodic Korteweg-de Vries equation

Summary

The inverse spectral transform for the periodic Korteweg-de Vries equation is investigated in the limit for small-amplitude waves and the inverse Fourier transform is recovered. In the limiting process we find that the widths of the forbidden bands approach the amplitudes of the Fourier spectrum. The number of spectral bands is estimated from Fourier theory and depends explicitly on the assumed spatial discretization in the wave amplitude function (potential). This allows one to estimate the number of degrees of freedom in a discrete (and, therefore, finite-banded) potential. An essential feature of the calculations is that all results for the periodic problem are cast in terms of the infinite-line reflection and transmission coefficientsb(k), a(k). Thus the connection between the whole-line and periodic problems is clear at every stage of the computations.

Riassunto

Dallo studio della trasformata spettrale inversa per l’equazione di Korteweg-de Vries nel limite di piccole ampiezze d’onda si ottiene la trasformata di Fourier inversa, trovando che le ampiezze delle bande proibite tendono alle ampiezze dello spettro di Fourier. Il numero di bande spettrali è ricavato dalla teoria di Fourier e dipende esplicitamente dalla discretizzazione spaziale della funzione dell’ampiezza d’onda, permettendo la valutazione del numero di gradi di libertà per un potenziale discreto. Tutti i risultati del problema periodico sono espressi in termini dei coefficienti di riflessione e trasmissione del caso infinito, rendendo esplicita ad ogni passaggio la relazione fra caso «infinito» e caso «periodico».

Резюме

Исследуется обратное спектральное преобразование периодического уравнения Кортевега-де-Вриса в пределе волн с малыми амплитудами и восстанавливается обратное преобразование Фурье. В процессе предельного перехода мы получаем, что ширины запрещенных зон аппроксимируют амплитуды Фурьеспектра. Из теории Фурье оценивается число спектральных зон, которое зависит явно от предложенной пространственной дискретности в волновой амплитудной функции (потенциале). Это позволяет нам оценить число степеней свободы в дискретном (и, следовательно, в конечно-зонном) потенциале. Существенная особенность вычислений состоит в том, что все результаты для периодической проблемы выражаются через коэффициенты отражения и прохожденияb(k), a(k). Таким образом, связь между последовательностью коэффициентов и периодическими проблемами является очевидной на каждой стадии вычислений.