The probability current for scalar particle in general relativity

Summary

We discuss the generalized formulation for the probability distribution for scalar particle in general relativity. This is tested by the correspondence principle. We show in the high-frequency short-wavelength limit that the generalized quantities exhibit correct physical properties. However, the formulation suffers a normalization problem. There, for example, a wave function might not be simultaneously normalizable in all reference frames. These conclusions are demonstrated in the Schwarzschild geometry, using suitable metrics, for i) a stationary-wave solution near the event horizon and ii) a general normalizable wave packet solution of the scalar-field equation. In this paper we also establish the geodesic trajectory and the Heisenberg uncertainty principle for a wave packet in curved space-time.

Riassunto

Si discute la formulazione generalizzata della distribuzione di probabilità di una particella scalare in relatività generale. Questa è provata dal principio di corrispondenza. Si dimostra nel limite delle altre frequenze e delle piccole lunghezze d’onda che le quantità generalizzate presentano le corrette proprietà fisiche. Tuttavia la formulazione è affetta da un problema di normalizzazione. In essa, per esempio, una funzione d’onda potrebbe non essere simultaneamente normalizzabile in tutti i sistemi di riferimento. Si dimostrano queste conclusioni nella geometria di Schwarzschild, usando metriche adatte, per i) una soluzione di onda stazionaria presso l’orizzonte dell’evento e ii) una soluzione di pacchetto d’onda normalizzabile generale dell’equazione del campo scalare. In questo lavoro si determina la traiettoria geodetica e si formula il principio d'indeterminazione di Heisenberg per un pacchetto d’onda in uno spazio-tempo curvo.

Резюме

Мы обсуждаем обобщенную формулировку распределения вероятности для скалярной частицы в общей теории относительности. Проверка этой формулировки осуществляется с помощью принципа соответствия. Мы показываем, что в пределе высоких частот, коротких длин волн, обобщенные величины обнаруживают правильные физические свойства. Однако, в предложенной формулировке возникает проблема нормировки. Например, волновая функция не может быть нормирована во всех системах отсчета. Указанные утверждения демонстрируются в геометрии Шварцшильда, используя соответствующие метрики, 1) для решения уравнения скалярного поля в виде стационарной волны вблизи горизонта событий и 2) для решения уравнения скалярного поля, представляющего обший нормируемый волновой пакет. В этой статье мы также выводим геодезическую траекторию и принцип неопределенности Гайзенберга для волного пакета в искривленном пространствевремени.